TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

Fonksiyonlarda işlemler, iki veya daha fazla fonksiyonu matematiksel operatörlerle (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) birleştirerek yeni fonksiyonlar oluşturma işlemidir. Fonksiyon çeşitleri ise fonksiyonların özel niteliklerine (birebir, örten, periyodik, vb.) göre sınıflandırılmasıdır.

Bu bölümde:

- Fonksiyonlarda aritmetik işlemler

- Fonksiyon türleri (birebir, örten, bijektif, vs.)

- Periyodik fonksiyonlar

- Özel fonksiyon türleri (çift, tek)

konularını ele alacağız.

 FONKSİYONLARDA ARİTMETİK İŞLEMLER

 Toplama ve Çıkarma

Tanım:

f: A → ℝ ve g: A → ℝ iki fonksiyon ise:

- (f + g)(x) = f(x) + g(x)

- (f - g)(x) = f(x) - g(x)

Tanım Kümesi: Aynı tanım kümesi (A)

Örnek:

- f(x) = x + 2

- g(x) = 2x - 1

- (f + g)(x) = (x + 2) + (2x - 1) = 3x + 1

- (f - g)(x) = (x + 2) - (2x - 1) = -x + 3

 Çarpma ve Bölme

Tanım:

f: A → ℝ ve g: A → ℝ iki fonksiyon ise:

- (f · g)(x) = f(x) · g(x)

- (f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0

Tanım Kümesi:

- Çarpma: A (aynı tanım kümesi)

- Bölme: A - {x | g(x) = 0} (g'nin sıfır olduğu noktalar hariç)

Örnek:

- f(x) = x²

- g(x) = x - 1

- (f · g)(x) = x² · (x - 1) = x³ - x²

- (f / g)(x) = x² / (x - 1), tanım kümesi: ℝ - {1}

 TEMEL SEVİYE (⭐)

 Örnek 1: Fonksiyon İşlemleri - Toplama/Çıkarma (⭐)

Soru:

f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x - 1 veriliyor.

(f + g)(2) ve (f - g)(3) değerlerini bulun.

Çözüm:

Adım 1: f + g fonksiyonunu bulunuz

$$(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 3) + (x - 1) = 3x + 2$$

Adım 2: (f + g)(2) hesapla

$$(f + g)(2) = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8$$

Alternatif: 

- f(2) = 2(2) + 3 = 7

- g(2) = 2 - 1 = 1

- (f + g)(2) = 7 + 1 = 8 ✓

Adım 3: f - g fonksiyonunu bulunuz

$$(f - g)(x) = f(x) - g(x) = (2x + 3) - (x - 1) = x + 4$$

Adım 4: (f - g)(3) hesapla

$$(f - g)(3) = 3 + 4 = 7$$

Alternatif:

- f(3) = 2(3) + 3 = 9

- g(3) = 3 - 1 = 2

- (f - g)(3) = 9 - 2 = 7 ✓

Cevap: (f + g)(2) = 8, (f - g)(3) = 7 ⭐

🎯 Püf Noktası: 

- (f ± g)(a) = f(a) ± g(a) (direkt değerlerden hesapla)

- Veya önce fonksiyonları birleştir, sonra değeri koy

 Örnek 2: Çarpma ve Bölme (⭐)

Soru:

f(x) = x² ve g(x) = 2x + 1 veriliyor.

(f · g)(x) ve (f / g)(x) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Çarpma

$$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = x^2 \cdot (2x + 1) = 2x^3 + x^2$$

Adım 2: Bölme

$$(f / g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{2x + 1}$$

Tanım Kümesi:

- (f · g): tüm ℝ

- (f / g): ℝ - {-1/2} (payda = 0 olduğu yer: 2x + 1 = 0 → x = -1/2)

Cevap: 

- (f · g)(x) = 2x³ + x²

- (f / g)(x) = x² / (2x + 1), tanım kümesi: ℝ - {-1/2} ⭐

🎯 Püf Noktası:

- Çarpma ve bölme sırasında işlem işaretlerine dikkat et

- Bölmede payda sıfır olamaz

 Örnek 3: Bileşke Fonksiyon - Basit (⭐)

Soru:

f(x) = x + 2 ve g(x) = 3x veriliyor.

(g ∘ f)(x) ve (f ∘ g)(x) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: (g ∘ f)(x) = g(f(x)) - önce f, sonra g

Adım 1a: f(x) = x + 2

Adım 1b: g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) = 3x + 6

$$(g \circ f)(x) = 3x + 6$$

Adım 2: (f ∘ g)(x) = f(g(x)) - önce g, sonra f

Adım 2a: g(x) = 3x

Adım 2b: f(g(x)) = f(3x) = 3x + 2

$$(f \circ g)(x) = 3x + 2$$

✓ Kontrol: (g ∘ f)(x) ≠ (f ∘ g)(x) ✓

- 3x + 6 ≠ 3x + 2

Cevap: 

- (g ∘ f)(x) = 3x + 6

- (f ∘ g)(x) = 3x + 2 ⭐

🎯 Püf Noktası:

- g ∘ f = "önce f, sonra g" (sağdan sola oku)

- Sıra çok önemli!

- (g ∘ f)(x) ile (f ∘ g)(x) genellikle farklı

 ORTA SEVİYE (⭐⭐)

 Örnek 4: Bileşke Fonksiyon - Polinom (⭐⭐)

Soru:

f(x) = x² - 1 ve g(x) = 2x + 3 veriliyor.

(f ∘ g)(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

Adım 2: g(x)'i bulunuz

$$g(x) = 2x + 3$$

Adım 3: f(g(x)) = f(2x + 3)

f'nin kuralını uygula, x yerine (2x + 3) koy:

$$f(2x + 3) = (2x + 3)^2 - 1$$

Adım 4: Genişlet

$$(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$$

Adım 5: Sonuç

$$(f \circ g)(x) = 4x^2 + 12x + 9 - 1 = 4x^2 + 12x + 8$$

✓ Kontrol:

- x = 0: g(0) = 3, f(3) = 9 - 1 = 8 ✓

- (f ∘ g)(0) = 0 + 0 + 8 = 8 ✓

Cevap: (f ∘ g)(x) = 4x² + 12x + 8 ⭐⭐

🎯 Püf Noktası:

- Bileşkede x yerine ikinci fonksiyonu yazmanız yeterli

- Genişletme sırasında parantez karesini doğru hesapla

- (a + b)² = a² + 2ab + b² (sık yapılan hata: a² + b² yazanlar)

 Örnek 5: Bileşke Fonksiyon - Kare Kök (⭐⭐)

Soru:

f(x) = √x ve g(x) = x + 4 veriliyor.

(f ∘ g)(x) ve tanım kümesini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 4)

f'nin kuralını uygula:

$$f(x + 4) = \sqrt{x + 4}$$

$$(f \circ g)(x) = \sqrt{x + 4}$$

Adım 2: Tanım Kümesini Bulunuz

Karekök içi ≥ 0 olmalı:

$$x + 4 \geq 0$$

$$x \geq -4$$

Tanım Kümesi: [-4, ∞)

✓ Kontrol:

- x = -4: √(−4 + 4) = √0 = 0 ✓

- x = 0: √4 = 2 ✓

- x = -5: √(−5 + 4) = √(−1) → Tanım dışı ✗

Cevap: 

- (f ∘ g)(x) = √(x + 4)

- Tanım kümesi: [-4, ∞) ⭐⭐

🎯 Püf Noktası:

- Bileşkede tanım kümesi = g'nin tanım kümesinin içinde f(g(x)) tanımlı olan kısım

- Karekök, logaritma gibi işlemlerin koşullarını kontrol et

 Örnek 6: Üç Fonksiyonun Bileşkesi (⭐⭐)

Soru:

f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x² veriliyor.

(h ∘ g ∘ f)(x) bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: İç kısımdan başla

(h ∘ g ∘ f)(x) = h(g(f(x)))

Önce f, sonra g, sonra h

Adım 2: f(x) hesapla

$$f(x) = x + 1$$

Adım 3: g(f(x)) = g(x + 1) hesapla

$$g(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2$$

Adım 4: h(g(f(x))) = h(2x + 2) hesapla

$$h(2x + 2) = (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4$$

$$(h \circ g \circ f)(x) = 4x^2 + 8x + 4$$

✓ Kontrol:

- x = 0: f(0) = 1, g(1) = 2, h(2) = 4 ✓

- (h ∘ g ∘ f)(0) = 0 + 0 + 4 = 4 ✓

Cevap: (h ∘ g ∘ f)(x) = 4x² + 8x + 4 ⭐⭐

🎯 Püf Noktası:

- Çoklu bileşkede içten dışa ilerle

- Sıra kritik: (h ∘ g ∘ f) ≠ (f ∘ g ∘ h)

 ZOR SEVİYE (⭐⭐⭐)

 Örnek 7: Bileşke Fonksiyon - Tanım Kümesi Analizi (⭐⭐⭐)

Soru:

f(x) = √(x - 1) ve g(x) = 1/(x - 2) veriliyor.

(f ∘ g)(x) fonksiyonu ve tanım kümesini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: (f ∘ g)(x) = f(g(x)) bulunuz

g(x) = 1/(x - 2)

f(g(x)) = f(1/(x - 2)) = √(1/(x - 2) - 1)

Adım 2: Paydaları düzenle

$$\frac{1}{x - 2} - 1 = \frac{1}{x - 2} - \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{1 - (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 - x}{x - 2}$$

$$(f \circ g)(x) = \sqrt{\frac{3 - x}{x - 2}}$$

Adım 3: Tanım Kümesi

Koşul 1: g(x) tanımlı

$$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$

Koşul 2: Karekök içi ≥ 0

$$\frac{3 - x}{x - 2} \geq 0$$

Bu eşitsizliği çöz (sayı doğrusu yöntemi):

Kritik noktalar: x = 2, x = 3

Tanım Kümesi: (2, 3]

✓ Kontrol:

- x = 2.5: 3 - 2.5 = 0.5, 2.5 - 2 = 0.5, 0.5/0.5 = 1 ✓

- x = 3: 3 - 3 = 0, 3 - 2 = 1, 0/1 = 0 ✓

- x = 1: 3 - 1 = 2, 1 - 2 = -1, 2/-1 = -2 → Tanım dışı ✗

- x = 4: 3 - 4 = -1, 4 - 2 = 2, -1/2 = -0.5 → Tanım dışı ✗

Cevap: 

- (f ∘ g)(x) = √((3-x)/(x-2))

- Tanım kümesi: (2, 3] ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası:

- Bileşkede tanım kümesi = tüm koşullar sağlanan bölge

- Kesirli eşitsizliği sayı doğrusuyla çöz (işaret tablosu)

 FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

 1. BİREBİR (İnjektif) FONKSİYON

Tanım:

f: A → B fonksiyonu birebir ise, A'nın farklı elemanları B'de farklı elemanlara eşlenir.

Matematiksel: x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)

Veya: f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

Grafik: Yatay çizgi testi - her yatay çizgi grafiği en fazla bir noktada keser

Örnekler:

- f(x) = 2x + 1 → Birebir (doğrusal, eğim ≠ 0)

- f(x) = x³ → Birebir (artan fonksiyon)

- f(x) = x² → Birebir değil (f(-2) = f(2) = 4)

 2. ÖRTEN (Surjektif) FONKSİYON

Tanım:

f: A → B fonksiyonu örten ise, B'nin her elemanı A'nın en az bir elemanının görüntüsüdür.

Matematiksel: Her b ∈ B için, ∃ a ∈ A öyle ki f(a) = b

Görüntü kümesi: Görüntü kümesi = Değer kümesi (B)

Örnekler:

- f: ℝ → ℝ, f(x) = x → Örten

- f: ℝ → [0, ∞), f(x) = x² → Örten

- f: ℝ → ℝ, f(x) = x² → Örten değil (negatif sayılar görüntüsü yok)

 3. BİJEKTİF (Bijection) FONKSİYON

Tanım:

f: A → B fonksiyonu bijektif ise, hem birebir hem de örtendür.

Özellik: Bijektif fonksiyonlar terslenebilir

Örnekler:

- f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 → Bijektif (birebir + örten)

- f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² → Bijektif

- f: ℝ → ℝ, f(x) = x² → Bijektif değil

 4. ÇIFT FONKSİYON (Even Function)

Tanım:

f(-x) = f(x) oluyorsa, f çift fonksiyondur.

Grafik: Y-eksenine göre simetrik

Örnekler:

- f(x) = x² → Çift (f(-x) = (-x)² = x² = f(x))

- f(x) = |x| → Çift

- f(x) = cos(x) → Çift

 5. TEK FONKSİYON (Odd Function)

Tanım:

f(-x) = -f(x) oluyorsa, f tek fonksiyondur.

Grafik: Orijine göre simetrik

Örnekler:

- f(x) = x³ → Tek (f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x))

- f(x) = x → Tek

- f(x) = sin(x) → Tek

 6. PERİYODİK FONKSİYON

Tanım:

T > 0 öyle ki f(x + T) = f(x) ise, f periyodiktir.

T: periyod (en küçük pozitif T: esas periyod)

Örnekler:

- f(x) = sin(x) → Periyod = 2π

- f(x) = cos(x) → Periyod = 2π

- f(x) = tan(x) → Periyod = π

 7. MONOTON FONKSİYON

Artan (Monoton Artan):

x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂)

Örnek: f(x) = x, f(x) = x³

Azalan (Monoton Azalan):

x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂)

Örnek: f(x) = -x, f(x) = -x³

 TEMEL SEVİYE ÖRNEKLER (⭐)

 Örnek 8: Birebir Fonksiyon Tanısı (⭐)

Soru: Aşağıdakilerden hangisi A = {1, 2, 3} → B = {a, b, c, d} birebir fonksiyonudur?

a) {(1,a), (2,b), (3,c)} ← Birebir (farklı girdiler, farklı çıktılar)

b) {(1,a), (2,a), (3,b)} ← Birebir değil (1 ve 2 aynı çıktıya)

c) {(1,a), (2,b), (3,a)} ← Birebir değil (1 ve 3 aynı çıktıya)

Cevap: a) Birebir ⭐

 Örnek 9: Çift/Tek Fonksiyon Tanısı (⭐)

Soru: f(x) = 3x² - 1 fonksiyonu çift mi, tek mi?

Çözüm:

f(-x) hesapla:

$$f(-x) = 3(-x)^2 - 1 = 3x^2 - 1 = f(x)$$

f(-x) = f(x) olduğundan, f çifttir ⭐

 ORTA SEVİYE ÖRNEKLER (⭐⭐)

 Örnek 10: Birebir Fonksiyon - Grafik (⭐⭐)

Soru: f(x) = x² - 2x + 3 fonksiyonu birebir midir?

Çözüm:

Yöntem 1: Türev Analizi

f'(x) = 2x - 2

f'(x) = 0 olduğunda x = 1

f'(x), x = 1'de işaret değiştirir (negative → positive)

Fonksiyon x < 1'de azalır, x > 1'de artar.

Yatay çizgi testi: Bazı yatay çizgiler grafiği iki noktada keser

Örnek: f(0) = 3, f(2) = 4 - 4 + 3 = 3

f(0) = f(2) = 3 ama 0 ≠ 2

Sonuç: Birebir değildir ⭐⭐

 Örnek 11: Örten Fonksiyon (⭐⭐)

Soru: f: ℝ → [0, ∞), f(x) = x² örten midir?

Çözüm:

Görüntü Kümesi:

- x ∈ ℝ için, x² ≥ 0

- x → ±∞ olduğunda x² → ∞

- Görüntü kümesi = [0, ∞)

Değer Kümesi: [0, ∞)

Görüntü = Değer olduğundan, örten ⭐⭐

 ZOR SEVİYE ÖRNEKLER (⭐⭐⭐)

 Örnek 12: Bijektif Fonksiyon (⭐⭐⭐)

Soru: f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² bijektif midir?

Çözüm:

Birebir mi?

- x₁, x₂ ∈ [0, ∞) ve f(x₁) = f(x₂) olsun

- x₁² = x₂²

- Iki taraf pozitif olduğundan, x₁ = x₂

- Birebir ✓

Örten mi?

- Her y ∈ [0, ∞) için, x = √y ∈ [0, ∞) var

- f(√y) = (√y)² = y

- Örten ✓

Sonuç: Hem birebir hem örten = Bijektif ⭐⭐⭐

 YAYGÍN HATALAR

 🎯 PÜF NOKTALAR - ÖZET

✓ Fonksiyonlarda İşlemler:

- Toplama/Çıkarma: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

- Çarpma/Bölme: (f · g)(x) = f(x) · g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x)

- Bölmede tanım kümesi: g(x) ≠ 0 koşulu

✓ Bileşke Fonksiyon:

- (g ∘ f)(x) = g(f(x)) → "önce f, sonra g"

- Sıra kritik: g ∘ f ≠ f ∘ g

- Bileşke tanım kümesi: g'nin tanım kümesi ∩ f(x) ∈ Dom(g) koşulu

✓ Birebir:

- x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)

- Yatay çizgi testi: en fazla 1 kesişim

- Doğrusal (eğim ≠ 0), monoton artan/azalan = birebir

✓ Örten:

- Görüntü kümesi = Değer kümesi

- Her çıktının en az bir girdisi var

✓ Bijektif:

- Birebir + Örten

- Ters fonksiyonu var

✓ Çift/Tek:

- Çift: f(-x) = f(x) (Y-eksenine simetrik)

- Tek: f(-x) = -f(x) (Orijine simetrik)