RASYONEL İFADE KAVRAMI

 Tanım

Rasyonel İfade: Pay ve paydası polinom olan kesirdir.

Genel Form: $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (burada $Q(x) \neq 0$)

Örnekler:

- $\frac{x + 2}{x - 1}$

- $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2}$

- $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$

 Sadeleştirme Kuralı

Pay ve paydanın ortak çarpanlarını kaldırabilir.

$$\frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot R(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)}$$ (burada $R(x) \neq 0$)

 SADELEŞTİRME YÖNTEMLERİ

 Yöntem 1: Ortak Parantez ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{6x + 9}{3}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay ve paydanın EBOB'u 3'tür:

$$\frac{6x + 9}{3} = \frac{3(2x + 3)}{3} = 2x + 3$$

 Yöntem 2: İki Kare Farkı ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2$$ (burada $x \neq 2$)

 Yöntem 3: Tam Kare Açılımı ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

$$\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2} = \frac{(x + 2)^2}{x + 2} = x + 2$$ (burada $x \neq -2$)

 Yöntem 4: Gruplandırma ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{x^2 + 2x + xy + 2y}{x + 2}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^2 + 2x + xy + 2y = (x^2 + 2x) + (xy + 2y) = x(x + 2) + y(x + 2) = (x + 2)(x + y)$

$$\frac{x^2 + 2x + xy + 2y}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x + y)}{x + 2} = x + y$$ (burada $x \neq -2$)

 SADELEŞTİRME VİZÜEL GÖSTERİMİ

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Basit Kesir Sadeleştirmesi

Soru: $\frac{12xy}{18x}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

EBOB(12, 18) = 6

$$\frac{12xy}{18x} = \frac{6 \cdot 2xy}{6 \cdot 3x} = \frac{2xy}{3x} = \frac{2y}{3}$$ (burada $x \neq 0$)

 Örnek 2: Polinom Sadeleştirmesi

Soru: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

$$\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3$$ (burada $x \neq 2$)

 Örnek 3: Küpler Farkı ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{x^3 - 8}{x - 2}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

$$\frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$$ (burada $x \neq 2$)

 Örnek 4: Küpler Toplamı ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{a^3 + 27}{a + 3}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$

$$\frac{a^3 + 27}{a + 3} = \frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{a + 3} = a^2 - 3a + 9$$ (burada $a \neq -3$)

 Örnek 5: Birden Fazla Çarpanlara Ayırma

Soru: $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 6x + 9}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Payda: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

$$\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 3)^2} = \frac{x + 2}{x + 3}$$ (burada $x \neq -3$)

 Örnek 6: İki Kare Farkı Hem Pay Hem Payda

Soru: $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

Payda: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$

$$\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16} = \frac{(x + 4)(x - 4)}{(x - 4)^2} = \frac{x + 4}{x - 4}$$ (burada $x \neq 4$)

 Örnek 7: Gruplandırma ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{ax + ay + bx + by}{a + b}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$

$$\frac{ax + ay + bx + by}{a + b} = \frac{(a + b)(x + y)}{a + b} = x + y$$ (burada $a + b \neq 0$)

 Örnek 8: Çok Adımlı Sadeleştirme

Soru: $\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Payda: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$$\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$$ (burada $x \neq 1$)

 Örnek 9: Negatif Parantez ile Sadeleştirme

Soru: $\frac{x - y}{y - x}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Paydayı yeniden yazalım: $y - x = -(x - y)$

$$\frac{x - y}{y - x} = \frac{x - y}{-(x - y)} = -1$$ (burada $x \neq y$)

 Örnek 10: Karmaşık Sadeleştirme

Soru: $\frac{2x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x - 3}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$

Payda: $2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$

$$\frac{2x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x - 3} = \frac{(2x + 3)(x + 1)}{(2x + 3)(x - 1)} = \frac{x + 1}{x - 1}$$ (burada $x \neq -\frac{3}{2}$)

 RASYONEL İFADE İŞLEMLERİ

 Toplama ve Çıkarma

Soru: $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1}$ işlemini yapınız.

Çözüm:

Ortak payda: $(x + 1)(x - 1)$

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}$$

$$= \frac{2(x - 1) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2x - 2 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 1)}$$

$$= \frac{5x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{5x + 1}{x^2 - 1}$$

 Çarpma

Soru: $\frac{x + 2}{x - 1} \times \frac{x - 1}{x + 3}$ işlemini yapınız.

Çözüm:

$$\frac{x + 2}{x - 1} \times \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 3}$$ (burada $x \neq 1$)

 Bölme

Soru: $\frac{x^2 - 4}{x + 1} \div \frac{x - 2}{x + 1}$ işlemini yapınız.

Çözüm:

$$\frac{x^2 - 4}{x + 1} \div \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{x^2 - 4}{x + 1} \times \frac{x + 1}{x - 2}$$

$$= \frac{(x^2 - 4)(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

Pay: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

$$= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2$$ (burada $x \neq 2, x \neq -1$)

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Tanım Alanı

Sadeleştirmeden sonra, tanımdan çıkarılan değerleri belirtmek önemli.

 🎯 Püf Nokta 2: Pay ve Paydayı Ayrı Çarpanlarına Ayır

Sadeleştirme yapmadan önce, pay ve paydayı tamamen çarpanlarına ayır.

 🎯 Püf Nokta 3: Ortak Çarpanları Tanı

İki kare farkı, tam kare açılımı, gruplandırma gibi formülleri kullanarak çarpanları bul.

 🎯 Püf Nokta 4: Sadeleştirmeden Sonra Kontrol

Bulduğun sonucu doğru olduğundan emin olmak için, orijinal kesirle karşılaştır.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Şartlı Sadeleştirme

Yanlış: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x - 2$ (bütün $x$ için)

Doğru: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ (burada $x \neq 2$)

 ❌ Hata 2: Yanlış Çarpanlara Ayırma

Yanlış: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 4)$

Doğru: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

 ❌ Hata 3: Terim Bazında Sadeleştirme

Yanlış: $\frac{x + 2}{x + 3} = \frac{2}{3}$ (terimleri sadeleştirmek)

Doğru: Sadeleştirilemez (ortak çarpan yok)

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 11: Değişkenli Katsayılarla

Soru: $\frac{ab + ac}{a}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $ab + ac = a(b + c)$

$$\frac{ab + ac}{a} = \frac{a(b + c)}{a} = b + c$$ (burada $a \neq 0$)

 Örnek 12: Kübik Polinomla

Soru: $\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 - 1}$ ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

Pay: $x^3 + x^2 - x - 1 = (x^2 - 1)(x + 1)$ (gruplandırma ile)

Payda: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$$\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

$$= \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1$$ (burada $x \neq 1, x \neq -1$)

 Örnek 13: Denklem Çözme

Soru: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 5$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Sadeleştir (burada $x \neq 3$):

$$\frac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} = 5$$

$$x + 3 = 5$$

$$x = 2$$

Kontrol: $x = 2$ için $\frac{4 - 9}{2 - 3} = \frac{-5}{-1} = 5$ ✓

 SONUÇ

🎉 TEBRİKLER! 

TYT MATEMATİK "ÇARPANLARA AYIRMA" ÜNİTESİ TAMAMLANMIŞTIR!

 Tamamlanan Konular:

1. ✅ Ortak Paranteze Alma, Gruplandırma

2. ✅ Özdeşlikler: İki Kare Farkı, Tam Kare Açılımı

3. ✅ Özdeşlikler: Küpler Farkı, Küpler Toplamı, Küp Açılımı

4. ✅ Rasyonel İfadelerde Sadeleştirme

Çarpanlara ayırma, matematiğin en temel ve en sık kullanılan tekniklerinden biridir. Öğrendiğin formülleri ve yöntemleri iyi pekiştirmek, ileriki tüm matematik konularında başarı için gereklidir.