MUTLAK DEĞER TANIMI

 Cebir Tanımı

Tanım: Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfırdan uzaklığıdır.

Gösterim: $|a|$ (okunuşu: "a'nın mutlak değeri")

Matematiksel Tanım:

$$|a| = \begin{cases}a & \text{eğer } a \geq 0 \\-a & \text{eğer } a < 0\end{cases}$$

 Geometrik Anlamı

Mutlak değer, sayı doğrusunda bir sayının orijine (0'a) olan mesafesidir.

Görselleştirme:

MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ

 Temel Özellikler

 Özellik 1: Negatif Olmama

$$|a| \geq 0 \text{ (Her zaman pozitif veya sıfır)}$$

Örnekler:

- $|5| = 5 > 0$

- $|-7| = 7 > 0$

- $|0| = 0$

 Özellik 2: Simetri

$$|a| = |-a|$$

Örnekler:

- $|4| = |-4| = 4$

- $|-12| = |12| = 12$

 Özellik 3: Çarpım

$$|a \times b| = |a| \times |b|$$

Örnek: $|-3 \times 4| = |-12| = 12 = |-3| \times |4| = 3 \times 4$

 Özellik 4: Bölüm

$$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$$ (b ≠ 0)

Örnek: $\left|\frac{-10}{2}\right| = |-5| = 5 = \frac{|-10|}{|2|} = \frac{10}{2}$

 Özellik 5: Üçgen Eşitsizliği

$$|a + b| \leq |a| + |b|$$

Örnek: $|3 + (-5)| = |-2| = 2 \leq |3| + |-5| = 3 + 5 = 8$ ✓

 Özellik 6: Fark Eşitsizliği

$$||a| - |b|| \leq |a + b|$$

 MUTLAK DEĞER DIŞINA ÇIKARMA

 Kural 1: Pozitif İfade

Mutlak değerin içi pozitif ise, mutlak değer işareti kalkar.

$$\text{Eğer } a \geq 0 \text{ ise } |a| = a$$

Örnekler:

- $|5| = 5$

- $|x| = x$ (burada $x \geq 0$ kabul ediyoruz)

- $|3x + 1| = 3x + 1$ (eğer $3x + 1 \geq 0$ ise)

 Kural 2: Negatif İfade

Mutlak değerin içi negatif ise, ifadenin negatifini al.

$$\text{Eğer } a < 0 \text{ ise } |a| = -a$$

Örnekler:

- $|-5| = -(-5) = 5$

- $|-x| = -(-x) = x$ (burada $x < 0$)

- $|3x - 7| = -(3x - 7) = -3x + 7$ (eğer $3x - 7 < 0$ ise)

 Kural 3: Durum Analizi

Mutlak değer dışına çıkarken hem pozitif hem negatif durumlar göz önüne alınmalı.
 

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Basit Mutlak Değer Hesabı

Soru: $|-7|$ ve $|5|$ değerlerini bulunuz.

Çözüm:

- $|-7|$ : -7 negatif olduğundan $|-7| = -(-7) = 7$

- $|5|$ : 5 pozitif olduğundan $|5| = 5$

 Örnek 2: İfadesel Mutlak Değer

Soru: $|3x - 9|$ ifadesini $x$'in değerine göre dışına çıkarınız.

Çözüm:

İlk olarak $3x - 9 = 0$ olan noktayı bulalım:

$$3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Durum 1: $x \geq 3$ ise $3x - 9 \geq 0$

$$|3x - 9| = 3x - 9$$

Durum 2: $x < 3$ ise $3x - 9 < 0$

$$|3x - 9| = -(3x - 9) = -3x + 9$$

Sonuç:

$$|3x - 9| = \begin{cases}3x - 9 & \text{eğer } x \geq 3 \\-3x + 9 & \text{eğer } x < 3\end{cases}$$

 Örnek 3: Negatif Sayının Mutlak Değeri

Soru: $|x - 5|$ ifadesini $x = 2$ için hesaplayınız.

Çözüm:

$$|2 - 5| = |-3| = 3$$

Veya:

$x = 2 < 5$ olduğundan $x - 5 < 0$

$$|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5 = -2 + 5 = 3$$

 Örnek 4: Çarpımın Mutlak Değeri

Soru: $|(-4) \times 3|$ değerini hesaplayınız.

Çözüm:

Yöntem 1: İlk hesapla, sonra mutlak değer al

$$|(-4) \times 3| = |-12| = 12$$

Yöntem 2: Özellik kullan

$$|(-4) \times 3| = |-4| \times |3| = 4 \times 3 = 12$$

 Örnek 5: Karmaşık İfade

Soru: $|2x - 8| + |x + 1|$ ifadesini $x = 3$ için hesaplayınız.

Çözüm:

$$|2(3) - 8| + |3 + 1| = |6 - 8| + |4| = |-2| + 4 = 2 + 4 = 6$$

 Örnek 6: Aralıklara Göre Dışına Çıkarma

Soru: $|x - 2| + |x + 3|$ ifadesini dışına çıkarınız.

Çözüm:

Kritik noktalar: $x = 2$ ve $x = -3$

Aralık 1: $x < -3$

- $x - 2 < 0$ → $|x - 2| = -x + 2$

- $x + 3 < 0$ → $|x + 3| = -x - 3$

- Toplam: $(-x + 2) + (-x - 3) = -2x - 1$

Aralık 2: $-3 \leq x < 2$

- $x - 2 < 0$ → $|x - 2| = -x + 2$

- $x + 3 \geq 0$ → $|x + 3| = x + 3$

- Toplam: $(-x + 2) + (x + 3) = 5$

Aralık 3: $x \geq 2$

- $x - 2 \geq 0$ → $|x - 2| = x - 2$

- $x + 3 > 0$ → $|x + 3| = x + 3$

- Toplam: $(x - 2) + (x + 3) = 2x + 1$

Sonuç:

$$|x - 2| + |x + 3| = \begin{cases}-2x - 1 & \text{eğer } x < -3 \\5 & \text{eğer } -3 \leq x < 2 \\2x + 1 & \text{eğer } x \geq 2\end{cases}$$

 Örnek 7: Bölümün Mutlak Değeri

Soru: $\left|\frac{-20}{5}\right|$ değerini hesaplayınız.

Çözüm:

$$\left|\frac{-20}{5}\right| = |-4| = 4$$

Veya:

$$\left|\frac{-20}{5}\right| = \frac{|-20|}{|5|} = \frac{20}{5} = 4$$

 MUTLAK DEĞER GRAFİĞİ

 Basit Grafik: $y = |x|$
 

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: İçerideki İfadeyi Kontrol Et

Mutlak değer dışına çıkarmadan önce, içerideki ifadenin pozitif mi negatif mi olduğunu belirle.

 🎯 Püf Nokta 2: Kritik Noktalar

Bir ifadenin mutlak değerini dışına çıkarken, ifadenin sıfır olduğu noktayı bul (kritik nokta).

 🎯 Püf Nokta 3: Aralık Analizi

Birden fazla mutlak değer varsa, kritik noktaları kullanarak aralıkları oluştur.

 🎯 Püf Nokta 4: Simetri Özelliği

$|a| = |-a|$ olduğundan, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini değiştirsen sonuç değişmez.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Negatif Sonuç

Yanlış: $|-5| = -5$

Doğru: $|-5| = 5$ (mutlak değer her zaman pozitif)

 ❌ Hata 2: Dışına Çıkarken İşaret Unutmak

Yanlış: $|2x - 4| = 2x - 4$ (her durumda)

Doğru: 

- $x \geq 2$ ise $|2x - 4| = 2x - 4$

- $x < 2$ ise $|2x - 4| = -2x + 4$

 ❌ Hata 3: Çarpım Kuralını Yanlış Uygulamak

Yanlış: $|-3| \times |4| = -3 \times 4 = -12$

Doğru: $|-3| \times |4| = 3 \times 4 = 12$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 8: Mesafe Problemi

Soru: Sayı doğrusunda -3 ile 5 arasındaki mesafe nedir?

Çözüm:

$$\text{Mesafe} = |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8| = 8$$

Veya:

$$\text{Mesafe} = |-3 - 5| = |-8| = 8$$

 Örnek 9: Toplam Mutlak Değer

Soru: $|2 + (-5)| + |3 - 8|$ değerini hesaplayınız.

Çözüm:

$$|2 + (-5)| + |3 - 8| = |-3| + |-5| = 3 + 5 = 8$$

 Örnek 10: İç İçe Mutlak Değer

Soru: $||3 - 5| - 4|$ değerini hesaplayınız.

Çözüm:

İlk adım: $|3 - 5| = |-2| = 2$

İkinci adım: $|2 - 4| = |-2| = 2$

Sonuç: $||3 - 5| - 4| = 2$