YAŞ KAVRAMI

 Tanım

Yaş: Bir kişinin doğumundan günümüze geçen süreyi ifade eden sayıdır.

Temel Özellikler:

- Her yıl 1 artar

- Herkesin yaşı aynı hızda artar (1 yıl = 1 yıl)

- Yaş negatif olamaz

- Geçmiş, bugün ve gelecek için hesaplanabilir

 Yaş Gösterimi

YAŞ ÇİZELGESİ OLUŞTURMA

 Yöntem: Üç Zaman Dilimi Yaklaşımı

Yaş problemlerini çözerken, üç zaman dilimi kullanarak tablo oluşturmalıyız:

1. Geçmiş: Verilen yıl öncesi

2. Bugün: Şu anki zamanlar

3. Gelecek: Verilen yıl sonrası

 Yaş Çizelgesi Şablonu

1. Değişken belirle ve çizelge oluştur
2. Verilen koşulları matematiksel ifadelere çevir
3. Denklem kur ve çöz
4. Kontrol et

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Basit Yaş Bulma

Soru: Bugün Ahmet 15 yaşındadır. 10 yıl sonra kaç yaşında olacaktır?

Çözüm:

Adım 1: Zaman Çizelgesi

Adım 2: İlişki Kur

Gelecekteki yaş = Bugünkü yaş + Geçen yıl

Adım 3: Hesapla

$$\text{Yaş} = 15 + 10 = 25$$

Adım 4: Kontrol

Mantıklı mı? Evet ✓

 Örnek 2: İki Kişinin Yaşı (Bugün Verilen)

Soru: Baba 50, oğul 20 yaşındadır. Babanın yaşı oğlunun yaşının kaç katıdır?

Çözüm:

Adım 1: Zaman Çizelgesi

Adım 2: İlişki Kur

$$\frac{\text{Baba}}{\text{Oğul}} = \frac{50}{20} = 2.5$$

Adım 3: Sonuç

Babanın yaşı oğlunun 2.5 katıdır.

 Örnek 3: İki Kişinin Yaşı (Koşul Verilmiş)

Soru: Baba oğlundan 30 yaş büyüktür. Bugün oğul 10 yaşındadır. Babanın yaşı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Zaman Çizelgesi

Adım 2: İlişki Kur

Fark = 30 (sabit)

Baba = Oğul + 30

Adım 3: Hesapla

$$\text{Baba} = 10 + 30 = 40$$

Adım 4: Kontrol

$40 - 10 = 30$ ✓

 Örnek 4: İki Zaman Koşulu

Soru: Bugün Ahmet 15, Mehmet 25 yaşındadır. Kaç yıl sonra Mehmet'in yaşı Ahmet'in yaşının 1.5 katı olacak?

Çözüm:

Adım 1: Değişken Belirle

- $x$ = Geçecek yıl sayısı

Adım 2: Zaman Çizelgesi

Adım 3: Koşul Kur

"Mehmet'in yaşı Ahmet'in 1.5 katı"

$$25 + x = 1.5(15 + x)$$

Adım 4: Denklem Çöz

$$25 + x = 22.5 + 1.5x$$

$$2.5 = 0.5x$$

$$x = 5$$

Adım 5: Kontrol

- Ahmet: $15 + 5 = 20$ yaş

- Mehmet: $25 + 5 = 30$ yaş

- Oran: $\frac{30}{20} = 1.5$ ✓

 Örnek 5: Geçmiş Koşulu

Soru: 5 yıl önce baba 40, oğul 10 yaşındaydı. Bugün baba kaç yaşındadır?

Çözüm:

Adım 1: Zaman Çizelgesi

Adım 2: Hesapla

Bugünkü yaş = Geçmişteki yaş + Geçen yıl

$$\text{Baba} = 40 + 5 = 45$$

Adım 3: Kontrol

Mantıklı mı? Evet ✓

 Örnek 6: Karmaşık İlişki

Soru: Bugün baba 40, oğul 16 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacak?

Çözüm:

Adım 1: Değişken Belirle

- $x$ = Geçecek yıl sayısı

Adım 2: Zaman Çizelgesi

Adım 3: Koşul Kur

"Babanın yaşı oğlunun 2 katı"

$$40 + x = 2(16 + x)$$

Adım 4: Denklem Çöz

$$40 + x = 32 + 2x$$

$$8 = x$$

Adım 5: Kontrol

- Baba: $40 + 8 = 48$ yaş

- Oğul: $16 + 8 = 24$ yaş

- İlişki: $48 = 2 \times 24$ ✓

 Örnek 7: Geçmiş ve Gelecek Kombinasyonu

Soru: 3 yıl önceki yaşlarının toplamı 50 idi. 5 yıl sonra yaşlarının toplamı kaç olacak?

Çözüm:

Adım 1: Değişken Belirle

- Bugünkü yaşlarının toplamı = $S$

Adım 2: İlişki Kur

- 3 yıl önceki toplamı: Bugünkü - 6 = 50

  (Her kişi 3 yaş geri gidilir, iki kişi için 6)

- Bugünkü toplamı: $S = 50 + 6 = 56$

Adım 3: Gelecek Hesapla

- 5 yıl sonraki toplamı: $S + 10 = 56 + 10 = 66$

  (Her kişi 5 yaş ileriye gider, iki kişi için 10)

Adım 4: Kontrol

3 yıl öncesi: 50

5 yıl sonrası: 66

Fark: $66 - 50 = 16$ (3 + 5 = 8 yıl × 2 kişi) ✓

 Örnek 8: Üç Kişinin Yaşı

Soru: Ali, Baha ve Can'ın bugünkü yaşlarının toplamı 60'tır. Ali 20, Baha 15 yaşındadır. Can kaç yaşındadır?

Çözüm:

Adım 1: Zaman Çizelgesi

Adım 2: İlişki Kur

Toplamları = 60

$$20 + 15 + x = 60$$

Adım 3: Hesapla

$$x = 60 - 35 = 25$$

Adım 4: Kontrol

$20 + 15 + 25 = 60$ ✓

 Örnek 9: Oran ile Yaş

Soru: Baba ve oğlunun yaşlarının oranı 5:2'dir. Aralarındaki yaş farkı 27 ise, babanın yaşı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Değişken Belirle

- Baba yaşı = $5k$

- Oğul yaşı = $2k$

Adım 2: İlişki Kur

Fark = 27

$$5k - 2k = 27$$

Adım 3: Denklem Çöz

$$3k = 27$$

$$k = 9$$

Adım 4: Yaşları Bul

- Baba: $5 \times 9 = 45$ yaş

- Oğul: $2 \times 9 = 18$ yaş

Adım 5: Kontrol

- Fark: $45 - 18 = 27$ ✓

- Oran: $\frac{45}{18} = \frac{5}{2}$ ✓

 Örnek 10: Gelecek Oranı

Soru: Bugün ali 12, baha 8 yaşındadır. Kaç yıl sonra yaşlarının oranı 3:2 olacak?

Çözüm:

Adım 1: Değişken Belirle

- $x$ = Geçecek yıl sayısı

Adım 2: Zaman Çizelgesi

Adım 3: Koşul Kur

Oranları 3:2

$$\frac{12 + x}{8 + x} = \frac{3}{2}$$

Adım 4: Çapraz Çarpım

$$2(12 + x) = 3(8 + x)$$

$$24 + 2x = 24 + 3x$$

$$0 = x$$

Adım 5: Kontrol

Şu anda bile: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ ✓

Sonuç: Zaten 3:2 oranındadır, $x = 0$

 YAŞ ORTALAMASI

 Tanım ve Formül

Aynı gruptaki kişilerin yaşlarının aritmetik ortalaması, yaşların toplamının kişi sayısına bölünmesiyle bulunur:

$$\bar{y}=\frac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}$$

 Örnek 1

Ali, Baha ve Can'ın yaşları toplamı 60 ise, bu üç kişinin ortalama yaşı kaçtır?

Çözüm:

$$\bar{y}=\frac{60}{3}=20$$

 Örnek 2 (Eksik veri)

Üç kişinin ortalaması 24, iki kişinin yaşları 20 ve 26 ise üçüncü kişinin yaşı kaçtır?

Çözüm:

Toplam = $24\times3=72$  

Üçüncü kişinin yaşı = $72-(20+26)=26$

 Uygulama notu

- Ortalamayla verilen koşullarda toplam ve eksik eleman problemlerine dikkat et.

- Yaş ortalaması hesaplandıktan sonra mantık kontrolü yap (negatif/çok büyük değer yok mu).

---

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Zaman Çizelgesi Oluştur

Her zaman bir tablo oluştur. Geçmiş, bugün, gelecek dilimlerini belirt.

 🎯 Püf Nokta 2: Fark Sabit Kalır

İki kişinin yaş farkı hiçbir zaman değişmez. Bu çok önemli bir ilkedir!

Örnek: Bugün fark 10 ise, 5 yıl sonrada fark 10 olur.

 🎯 Püf Nokta 3: Oran Değişir

Yaşlar farkı sabit kalırken, oran zaman içinde değişir.

Örnek: 

- Şimdi 20 ve 10 (oran 2:1)

- 10 yıl sonra 30 ve 20 (oran 3:2)

 🎯 Püf Nokta 4: Değişken Seçimi

Koşulu sağlayan zamanı değişken olarak seç, kişilerin yaşlarını bundan türet.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Zaman Dilimi Karıştırma

Yanlış: Bugün ve gelecek yaşlarını aynı cümlede kullanmak

Doğru: Her zaman dilimi için ayrı satır/sütun oluşturmak

Örnek:

- Yanlış: "Baba 40 yaşında olacak ve oğul 2 katıdır"

- Doğru: "Bugün baba 40, x yıl sonra baba $40+x$ olur"

 ❌ Hata 2: Fark İlişkisini Yanlış Kullanma

Yanlış: Farkı geçmiş ve gelecekte farklı düşünmek

Doğru: Farkın her zaman aynı olduğunu bilmek

 ❌ Hata 3: Denklem Kurulurken İşaret Hatası

Yanlış: $40 + x = 2 \times 16 + x$ (Oğlunun gelecek yaşı unutulmak)

Doğru: $40 + x = 2(16 + x)$ (Her ikisine de zaman eklenir)

 ❌ Hata 4: Negatif Yaş

Yanlış: Hesap sonucunda negatif yaş çıkıp kabul etmek

Doğru: Negatif yaş imkansız, sorun koşul/hesaplama hatasında

 KONTROL LİSTESİ

Yaş problemlerini çözmeden önce kontrol et:

•  Zaman dilimlerini ayırt ettin mi?
• Tüm kişileri liste yaptın mı?
• Verilen tüm koşulları matematikselleştirdin mi?
• Değişkeni doğru seçtin mi?
• Denklemi doğru kurdun mu?
• Sonucu kontrol ettin mi?

 SONUÇ

Yaş problemleri, zaman dilimlerini sistematik olarak yönetmeyi öğretir. Temel ilke olan yaş farkının sabitliğini kavramak, çoğu yaş problemini kolaylaştırır. Düzenli tablo oluşturma ve adım-adım ilerleme, hata yapma olasılığını minimize eder.