MUTLAK DEĞERLI DENKLEMLER

 Temel Kavram

Mutlak Değerli Denklem: İçinde mutlak değer işareti olan denklemdir.

Genel Şekil: $|f(x)| = a$ (burada $a \geq 0$)

 Çözüm Kuralları

 Kural 1: $|f(x)| = a$ (a > 0)

$$|f(x)| = a \Leftrightarrow f(x) = a \text{ veya } f(x) = -a$$

Açıklama: Mutlak değerin içi a'ya veya -a'ya eşit olabilir.

Kural 2: $|f(x)| = 0$

$$|f(x)| = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0$$

Açıklama: Mutlak değer sıfırsa, içerideki ifade sıfırdır.

 Kural 3: $|f(x)| = a$ (a < 0)

$$|f(x)| = a \text{ denkleminin çözümü yoktur}$$

Açıklama: Mutlak değer her zaman pozitif veya sıfır olduğundan, negatif bir sayıya eşit olamaz.

 Çözüm Yöntemi: Durum Analizi

Algoritma:

1. $f(x) = a$ denklemini çöz

2. $f(x) = -a$ denklemini çöz

3. Bulduğun çözümleri birleştir

4. Kontrol et

Örnek: $|2x - 3| = 5$ denklemini çözünüz

Çözüm:

Durum 1: $2x - 3 = 5$

$$2x = 8$$

$$x = 4$$

Durum 2: $2x - 3 = -5$

$$2x = -2$$

$$x = -1$$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{-1, 4\}$

Kontrol:

- $x = 4$ : $|2(4) - 3| = |8 - 3| = |5| = 5$ ✓

- $x = -1$ : $|2(-1) - 3| = |-2 - 3| = |-5| = 5$ ✓

 ÇÖZÜMLÜ DENKLEM ÖRNEKLERİ

 Örnek 1: Basit Mutlak Değerli Denklem

Soru: $|x| = 7$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$|x| = 7 \Rightarrow x = 7 \text{ veya } x = -7$$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{-7, 7\}$

 Örnek 2: Öteleme ile Denklem

Soru: $|x - 3| = 4$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Durum 1: $x - 3 = 4$

$$x = 7$$

Durum 2: $x - 3 = -4$

$$x = -1$$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{-1, 7\}$

 Örnek 3: Sıfır Çözüm

Soru: $|3x + 6| = 0$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$|3x + 6| = 0 \Rightarrow 3x + 6 = 0$$

$$3x = -6$$

$$x = -2$$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{-2\}$

 Örnek 4: Negatif Eşit

Soru: $|2x - 1| = -3$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Mutlak değer her zaman pozitif veya sıfır olduğundan, negatif sayıya eşit olamaz.

Çözüm Kümesi: $Ç = \emptyset$ (Çözüm yok)

 Örnek 5: İki Mutlak Değer

Soru: $|x - 2| = |x + 1|$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Mutlak değerler eşit ise, içerideki ifadeler eşit veya zıt olabilir.

Durum 1: $x - 2 = x + 1$

$$-2 = 1$$ (Çelişki, çözüm yok)

Durum 2: $x - 2 = -(x + 1)$

$$x - 2 = -x - 1$$

$$2x = 1$$

$$x = \frac{1}{2}$$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{\frac{1}{2}\}$

Kontrol: $|\frac{1}{2} - 2| = |\frac{-3}{2}| = \frac{3}{2}$ ve $|\frac{1}{2} + 1| = |\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$ ✓

 Örnek 6: Parametreli Denklem

Soru: $|x - 4| = 3$ denklemini çözüp çözüm kümesini sayı doğrusunda gösteriniz.

Çözüm:

Durum 1: $x - 4 = 3$ → $x = 7$

Durum 2: $x - 4 = -3$ → $x = 1$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{1, 7\}$

Sayı Doğrusunda:
 

 MUTLAK DEĞERLI EŞİTSİZLİKLER

 Temel Kurallar

 Kural 1: $|f(x)| < a$ (a > 0)

$$|f(x)| < a \Leftrightarrow -a < f(x) < a$$

Açıklama: Mutlak değer a'dan küçükse, içerideki ifade -a ile a arasında olmalı.

Örnek: $|x| < 3$ → $-3 < x < 3$

 Kural 2: $|f(x)| \leq a$ (a > 0)

$$|f(x)| \leq a \Leftrightarrow -a \leq f(x) \leq a$$

 Kural 3: $|f(x)| > a$ (a > 0)

$$|f(x)| > a \Leftrightarrow f(x) > a \text{ veya } f(x) < -a$$

Açıklama: Mutlak değer a'dan büyükse, içerideki ifade a'dan büyük veya -a'dan küçük olmalı.

Örnek: $|x| > 2$ → $x > 2$ veya $x < -2$

 Kural 4: $|f(x)| \geq a$ (a > 0)

$$|f(x)| \geq a \Leftrightarrow f(x) \geq a \text{ veya } f(x) \leq -a$$

 Eşitsizlik Çözüm Algoritması

Adım 1: Eşitsizlik tipini belirle (<, ≤, >, ≥)

Adım 2: Uygun kuralı uygula

Adım 3: Ortaya çıkan eşitsizlikleri çöz

Adım 4: Çözüm kümesini aralık veya kümü gösterimi ile yaz

 ÇÖZÜMLÜ EŞİTSİZLİK ÖRNEKLERİ

 Örnek 7: $|x| < a$ Tipi

Soru: $|x| < 5$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$|x| < 5 \Leftrightarrow -5 < x < 5$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-5, 5)$

 Örnek 8: $|f(x)| < a$ Tipi

Soru: $|2x - 4| < 6$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$|2x - 4| < 6 \Leftrightarrow -6 < 2x - 4 < 6$$

Her tarafa 4 ekle:

$$-6 + 4 < 2x < 6 + 4$$

$$-2 < 2x < 10$$

Her tarafı 2'ye böl:

$$-1 < x < 5$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-1, 5)$

 Örnek 9: $|x| > a$ Tipi

Soru: $|x| > 3$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$|x| > 3 \Leftrightarrow x > 3 \text{ veya } x < -3$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$

 Örnek 10: $|f(x)| > a$ Tipi

Soru: $|3x + 1| > 8$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$|3x + 1| > 8 \Leftrightarrow 3x + 1 > 8 \text{ veya } 3x + 1 < -8$$

Birinci: $3x + 1 > 8$

$$3x > 7$$

$$x > \frac{7}{3}$$

İkinci: $3x + 1 < -8$

$$3x < -9$$

$$x < -3$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, -3) \cup (\frac{7}{3}, +\infty)$

 Örnek 11: Kapalı Aralık

Soru: $|x - 2| \leq 4$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$|x - 2| \leq 4 \Leftrightarrow -4 \leq x - 2 \leq 4$$

Her tarafa 2 ekle:

$$-4 + 2 \leq x \leq 4 + 2$$

$$-2 \leq x \leq 6$$

Çözüm Kümesi: $Ç = [-2, 6]$

 Örnek 12: Karmaşık Eşitsizlik

Soru: $|2x - 3| \geq 5$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$|2x - 3| \geq 5 \Leftrightarrow 2x - 3 \geq 5 \text{ veya } 2x - 3 \leq -5$$

Birinci: $2x - 3 \geq 5$

$$2x \geq 8$$

$$x \geq 4$$

İkinci: $2x - 3 \leq -5$

$$2x \leq -2$$

$$x \leq -1$$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$

 MUTLAK DEĞER DENKLEM VE EŞİTSİZLİK TABLOSU

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Eşitsizlik Tipi

- $|f(x)| < a$ → Aralık (VE)

- $|f(x)| > a$ → Birleşim (VEYA)

 🎯 Püf Nokta 2: Negatif Değer

Mutlak değer negatif sayıya eşit olamaz.

 🎯 Püf Nokta 3: Çift Çözüm

Mutlak değerli denklemlerin çoğunun iki çözümü olur.

 🎯 Püf Nokta 4: Sınırlar

Eşitsizliklerde açık/kapalı aralıkları doğru kullan.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Eşitsizlik Tipini Karıştırma

Yanlış: $|x| < 5$ → $x < 5$ veya $x > -5$

Doğru: $|x| < 5$ → $-5 < x < 5$

 ❌ Hata 2: Negatif Eşitlik

Yanlış: $|x| = -3$ denkleminin çözümü $x = 3$ veya $x = -3$

Doğru: Çözümü yoktur

 ❌ Hata 3: Birleşim/Kesişim Karışıklığı

Yanlış: $|x| > 2$ → $-2 < x < 2$

Doğru: $|x| > 2$ → $x > 2$ veya $x < -2$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 13: Grafik Çözüm

Soru: $|x - 1| \leq 2$ eşitsizliğinin çözüm kümesini grafik olarak gösteriniz.

Çözüm:

$$|x - 1| \leq 2 \Leftrightarrow -2 \leq x - 1 \leq 2$$

$$-1 \leq x \leq 3$$

 

Örnek 14: Birleşim Aralığı

Soru: $|2x + 3| > 7$ eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

$$|2x + 3| > 7 \Leftrightarrow 2x + 3 > 7 \text{ veya } 2x + 3 < -7$$

Birinci: $2x + 3 > 7$ → $2x > 4$ → $x > 2$

İkinci: $2x + 3 < -7$ → $2x < -10$ → $x < -5$

Çözüm Kümesi: $Ç = (-\infty, -5) \cup (2, +\infty)$

 SONUÇ

🎉 TEBRİKLER! 

TYT MATEMATİK "MUTLAK DEĞER" ÜNİTESİ TAMAMLANMIŞTIR!

 Tamamlanan Konular:

1. ✅ Mutlak Değer Kavramı, Mutlak Değer Dışına Çıkarma

2. ✅ Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak değer, çoğu matematik probleminin temelinde yer alan önemli bir kavramdır. Denklem ve eşitsizlikleri çözerken durum analizi yapabilmek, matematiksel düşüncenizi geliştirir.