RUTIN PROBLEM KAVRAMI

 Tanım

Rutin Problem: Sık karşılaşılan, belirli türlere ait, benzer denklem kurma yapılarını gerektiren problemlerdir.

Amaç: Farklı problem metinlerinde aynı denklem kurma yapısını tanımayı ve uygulamayı öğrenmek.

Yardımcı: Rutinlik, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan bir strateji mekanizmasıdır.

 ORTAK DENKLEM KURMA YAPILARI

 Yapı 1: Başlangıç + Değişim = Sonuç

Genel Form:

$$\text{Başlangıç} + \text{Değişim} = \text{Sonuç}$$

Bu yapı farklı bağlamlarda karşımıza çıkar:

Örnek 1A: Basit Ekleme

Problem: Bir sayıya 25 ekleniyor ve sonuç 80 oluyor.

Denklem Kurma:

- Başlangıç: $x$ (bilinmeyen sayı)

- Değişim: $+25$ (ekleme)

- Sonuç: $80$

Denklem: $x + 25 = 80$

Örnek 1B: Çıkarma

Problem: Bir sayıdan 15 çıkılıyor ve sonuç 45 oluyor.

Denklem Kurma:

- Başlangıç: $x$ (bilinmeyen sayı)

- Değişim: $-15$ (çıkarma)

- Sonuç: $45$

Denklem: $x - 15 = 45$

 Yapı 2: Orantılı İlişkiler

Genel Form:

$$\text{Bilinmeyen} = k \times \text{Referans}$$

Burada $k$ orantı faktörü (2 katı, 3 katı, 1/2'si vb.)

Örnek 2A: Katı Üzerinden İlişki

Problem: Ali'nin parası Zeynep'in parasının 3 katıdır. Toplamı 400 TL.

Denklem Kurma:

- Zeynep'in parası: $x$

- Ali'nin parası: $3x$ (3 kat)

- Toplam koşulu: $x + 3x = 400$

Denklem: $4x = 400$

Örnek 2B: Fark Üzerinden İlişki

Problem: Bir sayı diğerinden 12 fazladır. Toplamı 50.

Denklem Kurma:

- Küçük sayı: $x$

- Büyük sayı: $x + 12$ (12 fazla)

- Toplam koşulu: $x + (x + 12) = 50$

Denklem: $2x + 12 = 50$

 Yapı 3: İkili İlişkiler (A ve B ilişkisi)

Genel Form:

$$\text{A ile B arasında verilen koşul}$$

Örnek 3A: Toplam Koşulu

Problem: İki ardışık sayının toplamı 27.

Denklem Kurma:

- Birinci sayı: $x$

- İkinci sayı: $x + 1$ (ardışık)

- Toplam koşulu: $x + (x + 1) = 27$

Denklem: $2x + 1 = 27$

Örnek 3B: Fark Koşulu

Problem: İki sayının farkı 8, toplamı 20.

Denklem Kurma:

- Küçük sayı: $x$

- Büyük sayı: $x + 8$ (8 fark)

- Toplam koşulu: $x + (x + 8) = 20$

Denklem: $2x + 8 = 20$

 Yapı 4: Oransal Bölme

Genel Form:

$$x_1 : x_2 : x_3 = a : b : c$$

Örnek 4A: İki Parçalı Oran

Problem: 100 TL'yi Ali ve Zeynep'e 3:2 oranında ver.

Denklem Kurma:

- Ali'nin payı: $3k$

- Zeynep'in payı: $2k$

- Toplam koşulu: $3k + 2k = 100$

Denklem: $5k = 100$ → $k = 20$

- Ali: $60$ TL

- Zeynep: $40$ TL

Örnek 4B: Üç Parçalı Oran

Problem: 300 kg'ı A:B:C = 1:2:3 oranında dağıt.

Denklem Kurma:

- A'nın payı: $1k$

- B'nin payı: $2k$

- C'nin payı: $3k$

- Toplam koşulu: $1k + 2k + 3k = 300$

Denklem: $6k = 300$ → $k = 50$

 Yapı 5: Sıralı Durumlar (Geçmiş ve Gelecek)

Genel Form:

$$\text{Şimdi} → \text{Koşul} → \text{Verilen zamanın/durumun sonucu}$$

Örnek 5: İlişkili Koşullar

Problem: Bugün baba 40, oğlu 10 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacak?

Denklem Kurma:

- Geçecek yıl: $x$

- Babanın x yıl sonraki yaşı: $40 + x$

- Oğlunun x yıl sonraki yaşı: $10 + x$

- Koşul: Babanın yaşı = 2 × Oğlunun yaşı

Denklem: $40 + x = 2(10 + x)$

 PROBLEMLERİ SINIFLANDIRILMA TABLOSU

Örnek 1: Yapı 1 Uygulaması

Problem: Bir hesap bakiyesi 500 TL iken 200 TL çekildi. Yeni bakiye kaç TL?

Denklem Kurma Adımları:

1. Yapıyı tanı: Başlangıç + Değişim = Sonuç

2. Değişkenleri ata: Yeni bakiye = $x$

3. İlişki kur: $500 - 200 = x$

4. Denklem yaz: $x = 300$

5. Kontrol: Mantıklı mı? Evet ✓

Denklem: $x = 300$

 Örnek 2: Yapı 2 Uygulaması

Problem: Bir kalemlikten 3 kalem çıkartıldığında 7 kalem kaldı. Başlangıçta kaç kalem vardı?

Denklem Kurma Adımları:

1. Yapıyı tanı: Başlangıç - Değişim = Sonuç

2. Değişkenleri ata: Başlangıçtaki kalem = $x$

3. İlişki kur: $x - 3 = 7$

4. Denklem yaz: $x - 3 = 7$

5. Kontrol: $10 - 3 = 7$ ✓

Denklem: $x = 10$

 Örnek 3: Yapı 3 Uygulaması

Problem: İki kitabın fiyatları oranı 2:3'tür. Birinci kitap 20 TL ise, ikinci kitap kaç TL?

Denklem Kurma Adımları:

1. Yapıyı tanı: Orantılı İlişkiler

2. Değişkenleri ata: İkinci kitap = $x$

3. İlişki kur: $\frac{20}{x} = \frac{2}{3}$

4. Denklem yaz: $20 × 3 = x × 2$

5. Kontrol: $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$ ✓

Denklem: $2x = 60$ → $x = 30$

 Örnek 4: Yapı 4 Uygulaması

Problem: İki ardışık tam sayının toplamı 15.

Denklem Kurma Adımları:

1. Yapıyı tanı: İkili İlişkiler (Toplam koşulu)

2. Değişkenleri ata: Birinci sayı = $x$, İkinci = $x + 1$

3. İlişki kur: $x + (x+1) = 15$

4. Denklem yaz: $2x + 1 = 15$

5. Kontrol: $7 + 8 = 15$ ✓

Denklem: $x = 7$

 Örnek 5: Yapı 5 Uygulaması

Problem: Bir ürünün fiyatı ilk ay 100 TL iken, her ay %10 artıyor. 3 ay sonra fiyat kaç TL olur?

Denklem Kurma Adımları:

1. Yapıyı tanı: Sıralı Durumlar

2. Zaman dilimleri oluştur:

   - Ay 0: 100 TL

   - Ay 1: $100 × 1.10 = 110$ TL

   - Ay 2: $110 × 1.10 = 121$ TL

   - Ay 3: $121 × 1.10 = ?$

3. Denklem yaz: $x = 100 × (1.10)^3$

4. Kontrol: $100 × 1.331 = 133.1$ TL ✓

Denklem: $x = 133.1$

 PÜF NOKTALAR

 🎯 Püf Nokta 1: Yapı Tanıma

Problemin hangi denklem kurma yapısına ait olduğunu belirle. Spesifik problem türü değil, temel matematiksel yapısı önemli.

 🎯 Püf Nokta 2: Birden Fazla Değişken

Eğer birden fazla bilinmeyen varsa, aralarındaki ilişkiyi kullanarak tek değişkene indirge.

 🎯 Püf Nokta 3: Yazılı Kontrolü

Her ilişkiyi yazılı olarak ifade et, sonra matematiksel forma çevir. Atlama yapma!

 🎯 Püf Nokta 4: Benzer Problemlerden Öğren

Aynı yapıdaki farklı problemleri çözerek yapıyı pekiştir.

 SONUÇ

Rutin denklem kurma problemleri, temel matematiksel yapıları tanıma ve uygulamayı öğretir. Farklı problem türlerinin arkasında aynı denklem kurma ilkeleri yatmaktadır. Bu yapıları derinlemesine anlamak, karmaşık problemlere da kolayca uygulanabilir.