Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

 Tanım

Toplama:  

İki polinom toplanırken, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır ve toplam polinomu elde edilir.

Çıkarma:  

İki polinom çıkarılırken, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları çıkarılır ve fark polinomu elde edilir.

Önemli: Sadece aynı dereceli terimler toplanır veya çıkarılır!

 4.1.1. Temel Örnekler

 Örnek 1: Basit Toplama (⭐)

Soru:  

$$P(x) = 3x^2 - 5x + 7$$

$$Q(x) = 2x^2 + 3x - 4$$

$P(x) + Q(x)$ işlemini yapınız.

Çözüm:

$$P(x) + Q(x) = 5x^2 - 2x + 3$$

Cevap: $5x^2 - 2x + 3$ ✅

 Örnek 2: Basit Çıkarma (⭐)

Soru:  

$$P(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 5$$

$$Q(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 1$$

$P(x) - Q(x)$ işlemini yapınız.

Çözüm:

Adım 1: Parantezleri aç (dikkat: işaretler değişir)

$$P(x) - Q(x) = (4x^3 - 2x^2 + x - 5) - (2x^3 + x^2 - 3x + 1)$$

$$= 4x^3 - 2x^2 + x - 5 - 2x^3 - x^2 + 3x - 1$$

Adım 2: Benzer terimleri topla

$$= (4 - 2)x^3 + (-2 - 1)x^2 + (1 + 3)x + (-5 - 1)$$

$$= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6$$

Cevap: $2x^3 - 3x^2 + 4x - 6$ ✅

 4.1.2. Kompozisyon ve Katsayılı Toplama

 Örnek 3: $P(x^2)$ Durumu (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 3x^3 + 4x$$

$$Q(x) = -2x^2 + x^3 + x^2$$

$P(x^2) + Q(x)$ polinomunu bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: $P(x^2)$ hesapla

$$P(x^2) = 3(x^2)^3 + 4(x^2)$$

$$= 3x^6 + 4x^2$$

Adım 2: $Q(x)$ sadeleştir

$$Q(x) = x^3 - 2x^2 + x^2 = x^3 - x^2$$

Adım 3: Topla

$$P(x^2) + Q(x) = 3x^6 + 4x^2 + x^3 - x^2$$

$$= 3x^6 + x^3 + 3x^2$$

Cevap: $3x^6 + x^3 + 3x^2$ ✅

 Örnek 4: Katsayılı Toplama (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 3x^3 - 5x^2 + x + 2$$

$$Q(x) = 5x^4 - 3x^3 + x^2 - 2$$

$3P(x) + 2Q(x)$ polinomunu bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: $3P(x)$ hesapla

$$3P(x) = 3(3x^3 - 5x^2 + x + 2)$$

$$= 9x^3 - 15x^2 + 3x + 6$$

Adım 2: $2Q(x)$ hesapla

$$2Q(x) = 2(5x^4 - 3x^3 + x^2 - 2)$$

$$= 10x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 4$$

Adım 3: Topla

$$3P(x) + 2Q(x) = 10x^4 + 9x^3 - 15x^2 + 3x + 6 - 6x^3 + 2x^2 - 4$$

$$= 10x^4 + 3x^3 - 13x^2 + 3x + 2$$

Cevap: $10x^4 + 3x^3 - 13x^2 + 3x + 2$ ✅

 4.1.3. Derece Değişimi

Önemli Kural:

$$\deg(P) = m, \quad \deg(Q) = n$$

Açıklama ($m = n$ durumu):  

Eşit dereceli terimlerin katsayıları birbirini götürebilir, bu durumda derece küçülür.

 Örnek 5: Derece Değişimi (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$$

$$Q(x) = -2x^3 + x^2 + 4x - 7$$

$P(x) + Q(x)$ işleminin derecesi kaçtır?

Çözüm:

Başlangıç: $\deg(P) = 3$, $\deg(Q) = 3$ (eşit)

Toplama:

$$P(x) + Q(x) = (2 - 2)x^3 + (5 + 1)x^2 + (-3 + 4)x + (1 - 7)$$

$$= 0x^3 + 6x^2 + x - 6$$

$$= 6x^2 + x - 6$$

Sonuç: $x^3$ terimi yok oldu → Derece 2 oldu

Cevap: $\deg(P + Q) = 2$ ✅

 Polinomlarda Çarpma

 Tanım

İki polinomun çarpımı, polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

Kısaca: Her terim her terimle çarpılır.

 4.2.1. Temel Örnekler

 Örnek 6: Basit Çarpma (⭐)

Soru:  

$$(2x + 3)(x - 5)$$

İşlemi yapınız.

Çözüm:

Adım 1: Her terim her terimle

$$= 2x \cdot x + 2x \cdot (-5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-5)$$

$$= 2x^2 - 10x + 3x - 15$$

Adım 2: Benzer terimleri topla

$$= 2x^2 - 7x - 15$$

Cevap: $2x^2 - 7x - 15$ ✅

 Örnek 7: İkinci Derece ile Birinci Derece (⭐⭐)

Soru:  

$$(x^2 - 3x + 2)(2x + 1)$$

İşlemi yapınız.

Çözüm:

Adım 1: Dağılma

$$= x^2(2x + 1) - 3x(2x + 1) + 2(2x + 1)$$

Adım 2: Her terimi çarp

$$= 2x^3 + x^2 - 6x^2 - 3x + 4x + 2$$

Adım 3: Benzer terimleri topla

$$= 2x^3 - 5x^2 + x + 2$$

Cevap: $2x^3 - 5x^2 + x + 2$ ✅

 4.2.2. Özel Durumlar

 Örnek 8: Polinom ile Çarpım (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = x^3 + x + 2$$

$$Q(x) = -2x^2 + 3x - 4$$

$P(x) \cdot Q(x)$ işlemini yapınız.

Çözüm:

Adım 1: Her terim her terimle (9 çarpım)

$$= x^3(-2x^2 + 3x - 4) + x(-2x^2 + 3x - 4) + 2(-2x^2 + 3x - 4)$$

Adım 2: Çarp

$$= -2x^5 + 3x^4 - 4x^3 - 2x^3 + 3x^2 - 4x - 4x^2 + 6x - 8$$

Adım 3: Benzer terimleri topla

$$P(x) \cdot Q(x) = -2x^5 + 3x^4 - 6x^3 - x^2 + 2x - 8$$

Cevap: $-2x^5 + 3x^4 - 6x^3 - x^2 + 2x - 8$ ✅

 Örnek 9: Bilinmeyen Polinom (⭐⭐⭐)

Soru:  

$P(x)$ bir polinom olmak üzere,

$$(x + 2) \cdot P(x) = x^3 - 3x + m$$

$P(x)$ polinomunu bulunuz.

Çözüm:

Yöntem: Bölme işlemi yap

$P(x)$'i bulmak için her iki tarafı $(x + 2)$'ye bölelim:

$$P(x) = \frac{x^3 - 3x + m}{x + 2}$$

Uzun Bölme:

```

              x² - 2x + 1

        ─────────────────────

x + 2 | x³ + 0x² - 3x + m

        x³ + 2x²

        ─────────

           -2x² - 3x

           -2x² - 4x

           ───────────

                  x + m

                  x + 2

                 ───────

                 m - 2  (kalan)

```

Tam bölünme için: Kalan = 0 → $m = 2$

$$P(x) = x^2 - 2x + 1$$

Kontrol:

$$(x + 2)(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2$$

$$= x^3 - 3x + 2$$ ✅ (m=2 için)

Cevap: $P(x) = x^2 - 2x + 1$ (ve $m = 2$) ✅

 Polinomlarda Bölme

 Tanım

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer. 

Adımlar:

1. Bölünen ve bölen polinomlar, $x$ değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır

2. Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç bölümün ilk terimi olarak yazılır

3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleriyle çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde, bölünen polinomun altına yazılır

4. Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır

5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir

 4.3.1. Bölme İlişkisi

Temel İlişki:

$$\boxed{\text{Bölünen} = \text{Bölen} \times \text{Bölüm} + \text{Kalan}}$$

$$P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x)$$

Önemli Şart:

$$\deg(K) < \deg(B)$$

Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

 4.3.2. Uzun Bölme Örnekleri

 Örnek 10: İkinci Dereceye Bölme (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 4x^5 - 5x^3 - 4x^2 + 3x + 2$$

polinomunun $x^2 + 4$ ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.

Çözüm:

Not: $4x^5 + 0x^4 - 5x^3$ şeklinde eksik terimlere 0 katsayısı koy.

```

              4x³ + 0x² - 21x + 0

        ───────────────────────────

x²+4 | 4x⁵ + 0x⁴ - 5x³ - 4x² + 3x + 2

       4x⁵ + 0x⁴ + 16x³

       ─────────────────

              -21x³ - 4x²

              -21x³ + 0x² - 84x

              ───────────────────

                     -4x² + 87x + 2

                     -4x² + 0x - 16

                     ───────────────

                           87x + 18  (kalan)

```

Adım 1: $4x^5 \div x^2 = 4x^3$  

$4x^3(x^2 + 4) = 4x^5 + 16x^3$  

Çıkar: $-21x^3 - 4x^2$

Adım 2: $-21x^3 \div x^2 = -21x$  

$-21x(x^2 + 4) = -21x^3 - 84x$  

Çıkar: $-4x^2 + 87x + 2$

Adım 3: $-4x^2 \div x^2 = -4$  

$-4(x^2 + 4) = -4x^2 - 16$  

Çıkar: $87x + 18$ (kalan)

Derece kontrolü: $\deg(\text{kalan}) = 1 < 2 = \deg(\text{bölen})$ ✅

Bölüm: $4x^3 - 21x - 4$

Cevap: $4x^3 - 21x - 4$ ✅

 Örnek 11: Birinci Dereceye Bölme (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = 2x^3 + x^2 - 7x + 3$$

polinomunun $2x - 1$ ile bölümünden elde edilen bölüm nedir?

Çözüm:

```

              x² + x - 3

        ─────────────────────

2x-1 | 2x³ + x² - 7x + 3

       2x³ - x²

       ─────────

            2x² - 7x

            2x² - x

            ─────────

                -6x + 3

                -6x + 3

                ────────

                    0  (kalan)

```

Adım 1: $2x^3 \div 2x = x^2$  

$x^2(2x - 1) = 2x^3 - x^2$  

Çıkar: $2x^2 - 7x$

Adım 2: $2x^2 \div 2x = x$  

$x(2x - 1) = 2x^2 - x$  

Çıkar: $-6x + 3$

Adım 3: $-6x \div 2x = -3$  

$-3(2x - 1) = -6x + 3$  

Çıkar: 0

Kalan = 0 → Tam bölünme ✅

Bölüm: $x^2 + x - 3$

Cevap: $x^2 + x - 3$ ✅

 Örnek 12: Kalan Bulma (⭐⭐)

Soru:  

$$(x^3 - 2x^2 + x - 5) \div (x - 1)$$

İşleminde kalan kaçtır?

Çözüm:

```

              x² - x + 0

        ─────────────────────

x - 1 | x³ - 2x² + x - 5

        x³ - x²

        ─────────

           -x² + x

           -x² + x

           ─────────

                 0 - 5

                 0 - 0

                ───────

                  -5  (kalan)

```

Kalan: $-5$

Cevap: $-5$ ✅

Alternatif Yöntem (Kalan Teoremi):  

$P(x)$'i $(x - 1)$'e böldüğümüzde kalan = $P(1)$

$$P(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 - 5 = 1 - 2 + 1 - 5 = -5$$ ✅

 Derece Bulma

 Tanım

$k, m$ ve $n$ pozitif tamsayı, $\deg[P(x)] = m$ ve $\deg[Q(x)] = n$ olmak üzere:

İpucu (Derece Bulma):  

Her polinomun derecesine uygun, tek terimli birer polinom seçilerek verilen işlemler yapılır ve bu şekilde istenen sonuç bulunur.

 4.4.1. Temel Örnekler

 Örnek 13: Basit Derece (⭐)

Soru:  

$$\deg(P) = 5, \quad \deg(Q) = 3$$

$P(x) \cdot Q(x)$ işleminin derecesi kaçtır?

Çözüm:

$$\deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q) = 5 + 3 = 8$$

Cevap: 8 ✅

 Örnek 14: Polinomun Kuvveti (⭐)

Soru:  

$$\deg(P) = 3$$

$[P(x)]^5$ işleminin derecesi kaçtır?

Çözüm:

$$\deg(P^5) = 5 \times \deg(P) = 5 \times 3 = 15$$

Cevap: 15 ✅

 Örnek 15: Değişkenin Kuvveti (⭐⭐)

Soru:  

$P(x)$ ikinci dereceden bir polinomdur.

$$x^2 \cdot P(x^2 + 1) \cdot (x - 1)$$

işleminin derecesini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: $P(x^2 + 1)$ derecesi?

$P(x)$ ikinci derece → Tek terim seçelim: $P(x) = x^2$

$P(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^2$

En yüksek terim: $(x^2)^2 = x^4$

$$\deg[P(x^2 + 1)] = 4$$

Not: $(x^2 + 1)$ polinomu derece 2, $P$ derece 2 → Kompozisyon: $2 \times 2 = 4$

Adım 2: Tüm çarpımı hesapla

$$\deg(x^2) = 2$$

$$\deg[P(x^2 + 1)] = 4$$

$$\deg(x - 1) = 1$$

$$\deg(\text{çarpım}) = 2 + 4 + 1 = 7$$

Cevap: 7 ✅

 Örnek 16: Karma Derece (⭐⭐⭐)

Soru:  

$P(x)$ üçüncü dereceden, $Q(x)$ dördüncü dereceden bir polinomdur.

$$P(x^3) \cdot P^2(x) \cdot [2P(x) + 3Q(x)]$$

polinomunun derecesini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: $\deg[P(x^3)]$

$$\deg[P(x^3)] = 3 \times \deg(P) = 3 \times 3 = 9$$

Adım 2: $\deg[P^2(x)]$

$$\deg[P^2(x)] = 2 \times \deg(P) = 2 \times 3 = 6$$

Adım 3: $\deg[2P(x) + 3Q(x)]$

$\deg(P) = 3$, $\deg(Q) = 4$ → Farklı dereceler

$$\deg[2P + 3Q] = \max(3, 4) = 4$$

Adım 4: Tüm çarpım

$$\deg(\text{sonuç}) = 9 + 6 + 4 = 19$$

Cevap: 19 ✅

 4.4.2. Özel Durumlar

 Örnek 17: Derece Düşmesi (⭐⭐)

Soru:  

$$P(x) = ax^3 + 5x^2 - 3x + 1$$

$$Q(x) = -ax^3 + 2x^2 + x - 4$$

$a \neq 0$ için $P(x) + Q(x)$ işleminin derecesi kaçtır?

Çözüm:

Toplama:

$$P(x) + Q(x) = (a - a)x^3 + (5 + 2)x^2 + (-3 + 1)x + (1 - 4)$$

$$= 0x^3 + 7x^2 - 2x - 3$$

$$= 7x^2 - 2x - 3$$

Sonuç: $x^3$ terimi yok oldu → Derece 2

Cevap: 2 ✅

Not: Her iki polinom başlangıçta derece 3 ama sonuç derece 2 (küçüldü).

 Sık Yapılan Hatalar