TEMEL KAVRAMLAR

 Ardışık Doğal Sayılar

Tanım: Aralarında $1$ fark olan doğal sayılara ardışık doğal sayılar denir.

- Genel gösterim: $n, n+1, n+2, n+3, ...$

- Örnek: $5, 6, 7, 8, 9$

 Ardışık Çift Sayılar

Tanım: Aralarında $2$ fark olan çift sayılara ardışık çift sayılar denir.

- Genel gösterim: $2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6, ...$

- Örnek: $8, 10, 12, 14, 16$

 Ardışık Tek Sayılar

Tanım: Aralarında $2$ fark olan tek sayılara ardışık tek sayılar denir.

- Genel gösterim: $2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7, ...$

- Örnek: $7, 9, 11, 13, 15$

ARDIŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

 İki Ardışık Doğal Sayı

$n$ ve $n+1$

Özellikler:

- Toplamları: $n + (n+1) = 2n + 1$ (tek sayı)

- Çarpımları: $n(n+1)$ (çift sayı)

- EBOB'ları: $\text{EBOB}(n, n+1) = 1$ (aralarında asal)

 Üç Ardışık Doğal Sayı

$n-1, n, n+1$

Özellikler:

- Toplamları: $(n-1) + n + (n+1) = 3n$

- Orta sayının $3$ katıdır

- Çarpımları $6$'nın katıdır: $(n-1) \cdot n \cdot (n+1) = n(n^2-1)$

 Dört Ardışık Doğal Sayı

$n, n+1, n+2, n+3$

Özellikler:

- Toplamları: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6$

- İlk ve son sayının toplamı = Ortadaki iki sayının toplamı

 ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMLARI

 1. İlk $n$ Doğal Sayının Toplamı

$$S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Örnek: $1 + 2 + 3 + ... + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

 2. Ardışık Çift Sayıların Toplamı

$$S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)$$

Açıklama: İlk $n$ çift sayının toplamıdır.

Örnek: $2 + 4 + 6 + 8 = 4(5) = 20$

 3. Ardışık Tek Sayıların Toplamı

$$S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2$$

Açıklama: İlk $n$ tek sayının toplamı, $n$'nin karesidir.

Örnek: $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2 = 16$

 4. Ardışık Tam Kare Sayıların Toplamı

$$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Örnek: $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 55$

 5. Ardışık Küp Sayıların Toplamı

$$S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$

Açıklama: Ardışık küplerin toplamı, ardışık sayıların toplamının karesidir.

Örnek: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = \left[\frac{4 \cdot 5}{2}\right]^2 = 10^2 = 100$

 6. Ardışık 4. Dereceli Sayıların Toplamı

$$S_n = 1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + n^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n+1)}{30}$$

Örnek: $1^4 + 2^4 + 3^4 = \frac{3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 31}{30} = \frac{2604}{30} = 86$

 7. Genel Formül: $k$'dan Başlayan $n$ Ardışık Sayının Toplamı

Formül: $k$'dan başlayan $n$ ardışık sayının toplamı:

$$S = k + (k+1) + (k+2) + ... + (k+n-1) = \frac{n[2k + (n-1)]}{2}$$

Alternatif Yazım:

$$S = \frac{(\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \times \text{Terim Sayısı}}{2}$$

Örnek: $5$'ten başlayan $10$ ardışık sayının toplamı:

$$S = \frac{10[2(5) + 9]}{2} = \frac{10 \cdot 19}{2} = 95$$

8. Terim Sayısı Formülü

Ardışık bir dizide terim sayısını bulma:

$$\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1$$

Örnek 1 (Doğal sayılar): $5, 6, 7, ..., 20$ dizisinin terim sayısı:

$$\text{Terim Sayısı} = \frac{20 - 5}{1} + 1 = 16$$

Örnek 2 (Çift sayılar): $4, 6, 8, ..., 30$ dizisinin terim sayısı:

$$\text{Terim Sayısı} = \frac{30 - 4}{2} + 1 = 14$$

Örnek 3 (Tek sayılar): $7, 9, 11, ..., 31$ dizisinin terim sayısı:

$$\text{Terim Sayısı} = \frac{31 - 7}{2} + 1 = 13$$

 9. Belirli Bir Sayıdan Başlayan ve Sabit Artış Gösteren Dizilerin Toplamı

Verilen:

- $r$: ilk terim

- $n$: son terim

- $x$: ardışık iki terimin farkı (artış miktarı)

Formül:

$$S = r + (r+x) + (r+2x) + ... + n = \frac{(n+r) \cdot \text{(Terim Sayısı)}}{2}$$

Terim Sayısını Bulmak:

$$\text{Terim Sayısı} = \frac{n - r}{x} + 1$$

Tek Formülde:

$$S = \frac{(n+r)}{2} \cdot \left(\frac{n-r}{x} + 1\right) = \frac{(n+r)(n-r+x)}{2x}$$

Örnek: $3$'ten başlayıp $5$'er $5$'er artan sayılar: $3, 8, 13, 18, 23$

- İlk terim: $r = 3$

- Son terim: $n = 23$

- Artış miktarı: $x = 5$

- Terim sayısı: $\frac{23-3}{5} + 1 = 5$

- Toplam: $S = \frac{(23+3) \cdot 5}{2} = \frac{26 \cdot 5}{2} = 65$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Ardışık Sayıların Toplamı

Soru: Toplamları $75$ olan üç ardışık doğal sayıyı bulunuz.

Çözüm:

Üç ardışık sayı: $n-1, n, n+1$

$(n-1) + n + (n+1) = 75$

$3n = 75$

$n = 25$

Sayılar: $24, 25, 26$

Kontrol: $24 + 25 + 26 = 75$ ✓

 Örnek 2: Ardışık Çift Sayıların Çarpımı

Soru: Çarpımları $120$ olan iki ardışık çift sayıyı bulunuz.

Çözüm:

İki ardışık çift sayı: $2n, 2n+2$

$2n \cdot (2n+2) = 120$

$4n(n+1) = 120$

$n(n+1) = 30$

$n^2 + n - 30 = 0$

$(n+6)(n-5) = 0$

$n = 5$ (pozitif çözüm)

Sayılar: $10, 12$

Kontrol: $10 \times 12 = 120$ ✓

 Örnek 3: Beş Ardışık Sayının Toplamı

Soru: Toplamları $185$ olan beş ardışık doğal sayının en büyüğünü bulunuz.

Çözüm:

Beş ardışık sayı: $n, n+1, n+2, n+3, n+4$

$n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 185$

$5n + 10 = 185$

$5n = 175$

$n = 35$

Sayılar: $35, 36, 37, 38, 39$

En büyük: $39$

 Örnek 4: Ardışık Tek Sayıların Karesi

Soru: Üç ardışık tek sayının karelerinin toplamı $251$ olduğuna göre, bu sayıları bulunuz.

Çözüm:

Üç ardışık tek sayı: $2n-1, 2n+1, 2n+3$

$(2n-1)^2 + (2n+1)^2 + (2n+3)^2 = 251$

$(4n^2 - 4n + 1) + (4n^2 + 4n + 1) + (4n^2 + 12n + 9) = 251$

$12n^2 + 12n + 11 = 251$

$12n^2 + 12n - 240 = 0$

$n^2 + n - 20 = 0$

$(n+5)(n-4) = 0$

$n = 4$ (pozitif çözüm)

Sayılar: $7, 9, 11$

Kontrol: $7^2 + 9^2 + 11^2 = 49 + 81 + 121 = 251$ ✓

 Örnek 5: Karmaşık Ardışık Problem

Soru: Dört ardışık doğal sayıdan ilk ikisinin çarpımı, son ikisinin çarpımından $78$ eksiktir. Bu sayıları bulunuz.

Çözüm:

Dört ardışık sayı: $n, n+1, n+2, n+3$

Son ikisinin çarpımı - İlk ikisinin çarpımı = $78$

$(n+2)(n+3) - n(n+1) = 78$

$(n^2 + 5n + 6) - (n^2 + n) = 78$

$4n + 6 = 78$

$4n = 72$

$n = 18$

Sayılar: $18, 19, 20, 21$

Kontrol: 

- İlk ikisinin çarpımı: $18 \times 19 = 342$

- Son ikisinin çarpımı: $20 \times 21 = 420$

- Fark: $420 - 342 = 78$ ✓

 Örnek 6: Geometrik Uygulama

Soru: Kenar uzunlukları ardışık üç doğal sayı olan bir üçgenin çevresi $60$ cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunluklarını bulunuz.

Çözüm:

Kenar uzunlukları: $n-1, n, n+1$

Çevre: $(n-1) + n + (n+1) = 60$

$3n = 60$

$n = 20$

Kenar uzunlukları: $19$ cm, $20$ cm, $21$ cm

Üçgen kontrolü: $19 + 20 > 21$ ✓ (Üçgen eşitsizliği sağlanır)

 ÖZEL DURUMLAR VE FORMÜLLER

 Ardışık Sayıların Kareleri Toplamı

$n$ ardışık sayının kareleri toplamı:

$$\sum_{k=0}^{n-1} (a+k)^2 = na^2 + a \cdot n(n-1) + \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$

 Ardışık Sayıların Küpleri Toplamı

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Bu formül, ardışık küplerin toplamının, ardışık sayıların toplamının karesi olduğunu gösterir.

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

Püf Nokta 1: Orta Terim Yöntemi

Tek sayıda ardışık sayı varsa, ortadaki sayıyı bul:

- $3$ ardışık sayı: Toplam $= 3 \times$ orta sayı

- $5$ ardışık sayı: Toplam $= 5 \times$ orta sayı

Püf Nokta 2: İki Ardışık Sayının EBOB'u

$$\text{EBOB}(n, n+1) = 1$$

Ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır.

Püf Nokta 3: Ardışık Sayıların Çarpımının Bölünebilirliği

- $2$ ardışık sayının çarpımı $2$'ye bölünür

- $3$ ardışık sayının çarpımı $6$'ya bölünür  

- $n$ ardışık sayının çarpımı $n!$'e bölünür

Püf Nokta 4: Parite Özellikleri

- İki ardışık sayının toplamı tektir

- Üç ardışık sayının toplamı ortadaki sayının üç katıdır

- Dört ardışık sayının toplamı çifttir