TEMEL KAVRAMLAR

 Bölünebilirlik Tanımı

Tanım: $a$ ve $b$ tam sayıları için ($b \neq 0$), eğer $a = b \cdot k$ ($k$ tam sayı) şeklinde yazılabiliyorsa, "$a$, $b$'ye bölünebilir" denir.

Gösterim: $b \mid a$ (okunuşu: "$b$, $a$'yı böler")

 Bölünebilirlik Özellikleri

- Geçişkenlik: $a \mid b$ ve $b \mid c$ ise $a \mid c$

- Doğrusallık: $a \mid b$ ve $a \mid c$ ise $a \mid (b \pm c)$

- Çarpımsal: $a \mid b$ ise $a \mid (b \cdot c)$

 TEMEL SAYILARA BÖLÜNEBİLME KURALLARI

 2'ye Bölünebilme

Kural: Bir sayının son rakamı çift (0, 2, 4, 6, 8) ise, o sayı 2'ye bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0} = 10^n \cdot a_n + ... + 10 \cdot a_1 + a_0$

$10 \equiv 0 \pmod{2}$ olduğundan, sadece $a_0$ önemlidir.

Örnekler:

- $1348$ → Son rakam $8$ (çift) → $2 \mid 1348$ ✓

- $2357$ → Son rakam $7$ (tek) → $2 \nmid 2357$ ✗

 3'e Bölünebilme

Kural: Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa, o sayı 3'e bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$10 \equiv 1 \pmod{3}$, $10^k \equiv 1 \pmod{3}$ (tüm $k \geq 0$ için)

$\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0} \equiv a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0 \pmod{3}$

Örnekler:

- $1248$ → $1+2+4+8 = 15$ → $3 \mid 15$ → $3 \mid 1248$ ✓

- $1357$ → $1+3+5+7 = 16$ → $3 \nmid 16$ → $3 \nmid 1357$ ✗

 4'e Bölünebilme

Kural: Bir sayının son iki rakamından oluşan sayı 4'e bölünüyorsa, o sayı 4'e bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$100 = 4 \times 25 \equiv 0 \pmod{4}$

$10^k \equiv 0 \pmod{4}$ (tüm $k \geq 2$ için)

Sadece son iki rakam önemlidir.

Örnekler:

- $3416$ → Son iki rakam: $16$ → $4 \mid 16$ → $4 \mid 3416$ ✓

- $2573$ → Son iki rakam: $73$ → $4 \nmid 73$ → $4 \nmid 2573$ ✗

 5'e Bölünebilme

Kural: Bir sayının son rakamı 0 veya 5 ise, o sayı 5'e bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$10 \equiv 0 \pmod{5}$, sadece son rakam önemlidir.

Örnekler:

- $2340$ → Son rakam $0$ → $5 \mid 2340$ ✓

- $1875$ → Son rakam $5$ → $5 \mid 1875$ ✓

 6'ya Bölünebilme

Kural: Bir sayı hem 2'ye hem de 3'e bölünüyorsa, 6'ya bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$6 = 2 \times 3$ ve $\gcd(2,3) = 1$ olduğundan.

Örnekler:

- $1248$ → Son rakam çift ✓ ve $1+2+4+8=15$, $3 \mid 15$ ✓ → $6 \mid 1248$ ✓

 8'e Bölünebilme

Kural: Bir sayının son üç rakamından oluşan sayı 8'e bölünüyorsa, o sayı 8'e bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$1000 = 8 \times 125 \equiv 0 \pmod{8}$

Örnekler:

- $23416$ → Son üç rakam: $416$ → $416 = 8 \times 52$ → $8 \mid 23416$ ✓

 9'a Bölünebilme

Kural: Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünüyorsa, o sayı 9'a bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$10 \equiv 1 \pmod{9}$, $3$'e bölünebilme ile aynı mantık.

Örnekler:

- $1458$ → $1+4+5+8 = 18$ → $9 \mid 18$ → $9 \mid 1458$ ✓

 10'a Bölünebilme

Kural: Bir sayının son rakamı 0 ise, o sayı 10'a bölünür.

Örnekler:

- $2560$ → Son rakam $0$ → $10 \mid 2560$ ✓

 11'e Bölünebilme

Kural: Bir sayının alternatif rakam toplamları farkı 11'e bölünüyorsa, o sayı 11'e bölünür.

Matematiksel Açıklama:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$, $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$

$\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0} \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... \pmod{11}$

Örnekler:

- $1331$ → $(1+3) - (3+1) = 4-4 = 0$ → $11 \mid 0$ → $11 \mid 1331$ ✓

- $2574$ → $(4+5) - (7+2) = 9-9 = 0$ → $11 \mid 2574$ ✓

 BÖLÜNEBİLME KURALLARI TABLOSU

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Çoklu Bölünebilirlik Kontrolü

Soru: $5472$ sayısı hangi sayılara bölünür? (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 kontrolü)

Çözüm:

- 2'ye: Son rakam $2$ (çift) → ✓

- 3'e: $5+4+7+2 = 18$, $18 = 3 \times 6$ → ✓

- 4'e: Son iki rakam $72$, $72 = 4 \times 18$ → ✓

- 5'e: Son rakam $2$ (ne 0 ne 5) → ✗

- 6'ya: 2'ye ✓ ve 3'e ✓ bölündüğünden → ✓

- 8'e: Son üç rakam $472$, $472 = 8 \times 59$ → ✓

- 9'a: Rakamlar toplamı $18$, $18 = 9 \times 2$ → ✓

Sonuç: 2, 3, 4, 6, 8, 9'a bölünür.

 Örnek 2: 11'e Bölünebilirlik

Soru: $\overline{3a5b7}$ beş basamaklı sayısının 11'e bölünebilmesi için $a$ ve $b$ hangi değerleri almalıdır?

Çözüm:

Alternatif toplam: $(7+5+3) - (b+a) = 15 - (a+b)$

11'e bölünebilmesi için: $15 - (a+b) \equiv 0 \pmod{11}$

$a + b \equiv 15 \equiv 4 \pmod{11}$

$a, b \in \{0,1,2,...,9\}$ olduğundan:

- $a + b = 4$: $(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)$

- $a + b = 15$: $(6,9), (7,8), (8,7), (9,6)$

Sonuç: $(a,b) \in \{(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), (6,9), (7,8), (8,7), (9,6)\}$

 Örnek 3: Büyük Sayıda Bölünebilirlik

Soru: $123456789$ sayısının 3 ve 9'a bölünüp bölünmediğini bulunuz.

Çözüm:

Rakamlar toplamı: $1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$

- $45 = 3 \times 15$ → 3'e bölünür ✓

- $45 = 9 \times 5$ → 9'a bölünür ✓

 Örnek 4: Kombinasyon Problemi

Soru: $\overline{abc}$ üç basamaklı sayısı hem 4'e hem de 9'a bölünüyor. Bu koşulları sağlayan en küçük sayıyı bulunuz.

Çözüm:

- 4'e bölünme: $\overline{bc}$ sayısı 4'ün katı olmalı

- 9'a bölünme: $a + b + c$ toplamı 9'un katı olmalı

4'ün katı olan iki basamaklı sayılar: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96

En küçük üç basamaklı sayı $\overline{abc} = 100 + \overline{bc}$ olmalı.

$\overline{bc} = 12$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+1+2 = 4$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 16$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+1+6 = 8$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 20$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+2+0 = 3$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 24$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+2+4 = 7$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 28$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+2+8 = 11$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 32$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+3+2 = 6$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 36$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+3+6 = 10$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 40$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+4+0 = 5$ (9'a bölünmez)

$\overline{bc} = 44$ için: $a = 1$, rakamlar toplamı = $1+4+4 = 9$ ✓

Sonuç: En küçük sayı $144$'tür.

 Örnek 5: Koşullu Bölünebilirlik

Soru: $\overline{7a3b}$ dört basamaklı sayısı 72'ye bölünebiliyor. $a$ ve $b$ değerlerini bulunuz.

Çözüm:

$72 = 8 \times 9$ ve $\gcd(8,9) = 1$ olduğundan, sayı hem 8'e hem 9'a bölünmelidir.

8'e bölünme: Son üç rakam $\overline{a3b}$ sayısı 8'e bölünmeli.

9'a bölünme: $7 + a + 3 + b = 10 + a + b$ toplamı 9'a bölünmeli.

$10 + a + b \equiv 0 \pmod{9}$

$a + b \equiv -10 \equiv -1 \equiv 8 \pmod{9}$

$a, b \in \{0,1,2,...,9\}$ olduğundan $a + b \in \{8, 17\}$

8'e bölünme kontrolü:

$a + b = 8$ durumları:

- $(a,b) = (0,8)$: $038 \div 8 = 4.75$ ✗

- $(a,b) = (1,7)$: $137 \div 8 = 17.125$ ✗

- $(a,b) = (2,6)$: $236 \div 8 = 29.5$ ✗

- $(a,b) = (3,5)$: $335 \div 8 = 41.875$ ✗

- $(a,b) = (4,4)$: $434 \div 8 = 54.25$ ✗

- $(a,b) = (5,3)$: $533 \div 8 = 66.625$ ✗

- $(a,b) = (6,2)$: $632 \div 8 = 79$ ✓

- $(a,b) = (7,1)$: $731 \div 8 = 91.375$ ✗

- $(a,b) = (8,0)$: $830 \div 8 = 103.75$ ✗

$a + b = 17$ durumları:

- $(a,b) = (8,9)$: $839 \div 8 = 104.875$ ✗

- $(a,b) = (9,8)$: $938 \div 8 = 117.25$ ✗

Sonuç: $(a,b) = (6,2)$, sayı $7632$'dir.

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Birleşik Bölünebilirlik

$\gcd(a,b) = 1$ ise, bir sayının $a \times b$'ye bölünebilmesi için hem $a$'ya hem $b$'ye bölünmesi gerekir.

 🎯 Püf Nokta 2: Rakam Toplamı Tekniği

3 ve 9'a bölünebilirlik için rakam toplamını kullanın. Bu teknik tekrarlanabilir:

$1999 \rightarrow 1+9+9+9 = 28 \rightarrow 2+8 = 10$ (3'e bölünmez)

 🎯 Püf Nokta 3: Alternatif Toplam

11'e bölünebilirlik için sağdan başlayarak $+,-,+,-,...$ şeklinde işlem yapın.

 🎯 Püf Nokta 4: Son Rakam Kuralları

- 2, 5, 10: Sadece son rakama bakın

- 4: Son iki rakama bakın 

- 8: Son üç rakama bakın

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: 6'ya Bölünebilirlik

Yanlış: "Rakamlar toplamı 6'ya bölünürse sayı 6'ya bölünür"

Doğru: Hem 2'ye hem 3'e bölünmelidir

 ❌ Hata 2: 11'e Bölünebilirlik Sırası

Yanlış: Soldan başlayarak alternatif toplam

Doğru: Sağdan başlayarak alternatif toplam

 ❌ Hata 3: Sıfır Durumu

Yanlış: "0 hiçbir sayıya bölünmez"

Doğru: 0 tüm sıfır olmayan sayılara bölünür

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 6: Çoklu Koşul

Soru: Hem 12'ye hem de 15'e bölünen en küçük üç basamaklı sayıyı bulunuz.

Çözüm:

$\text{EKOK}(12, 15) = \text{EKOK}(2^2 \times 3, 3 \times 5) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$

En küçük üç basamaklı sayı: $100$

$100 \div 60 = 1$ kalan $40$

Bir sonraki 60'ın katı: $60 \times 2 = 120$

Sonuç: $120$

 Örnek 7: Parametreli Problem

Soru: $\overline{1a2b3}$ sayısının 45'e bölünebilmesi için $a$ ve $b$ ne olmalıdır?

Çözüm:

$45 = 5 \times 9$ ve $\gcd(5,9) = 1$

5'e bölünme: Son rakam $3$ (ne 0 ne 5) → İmkansız!

Sonuç: Hiçbir $a$ ve $b$ değeri için bu sayı 45'e bölünemez.

 SONUÇ

Bölünebilme kuralları, sayı teorisi problemlerini hızlıca çözmenin en etkili yollarından biridir. Bu kuralları ezbere bilmek, AYT sınavında zaman kazandırır.