ORTALAMA KAVRAMI

 Temel Tanım

Ortalama: Bir grup sayının merkezi eğilimini gösteren değerdir.

Ortalama Çeşitleri:

1. Aritmetik Ortalama (Basit Ortalama)

2. Geometrik Ortalama

3. Harmonik Ortalama

4. Ağırlıklı Ortalama

 ARİTMETİK ORTALAMA

 Tanım ve Formül

Aritmetik Ortalama: $n$ sayının toplamının $n$'e bölünmesi ile elde edilen değerdir.

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

 Örnek 1: Basit Aritmetik Ortalama

Soru: 4, 6, 8, 10 sayılarının aritmetik ortalamasını bulunuz.

Çözüm:

$$\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = \frac{28}{4} = 7$$

 Örnek 2: Ders Notu Ortalaması

Soru: Bir öğrencinin matematik notları: 70, 75, 80, 85 ise, ortalaması kaçtır?

Çözüm:

$$\bar{x} = \frac{70 + 75 + 80 + 85}{4} = \frac{310}{4} = 77.5$$

 Aritmetik Ortalama Gösterimi:

 GEOMETRİK ORTALAMA

 Tanım ve Formül

Geometrik Ortalama: $n$ sayının çarpımının n'inci kökü ile elde edilen değerdir.

$$G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times ... \times x_n}$$

 Örnek 3: Basit Geometrik Ortalama

Soru: 2, 4, 8 sayılarının geometrik ortalamasını bulunuz.

Çözüm:

$$G = \sqrt[3]{2 \times 4 \times 8} = \sqrt[3]{64} = 4$$

 Örnek 4: İki Sayının Geometrik Ortalaması

Soru: 9 ve 16 sayılarının geometrik ortalamasını bulunuz.

Çözüm:

$$G = \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{144} = 12$$

 Geometrik Ortalama Uygulaması

Soru: Bir ürünün fiyatı 1. yılda 100 TL, 3. yılda 225 TL ise, yıllık ortalama fiyat artışı yüzde kaçtır?

Çözüm:

Yıllık artış oranı $r$ olsun:

- 1. yıl: 100

- 2. yıl: $100r$

- 3. yıl: $100r^2 = 225$

$$r^2 = 2.25$$

$$r = 1.5$$

Yüzde artış: $(1.5 - 1) \times 100 = 50\%$

 HARMONİK ORTALAMA

 Tanım ve Formül

Harmonik Ortalama: Sayıların terslerinin aritmetik ortalamasının tersine eşittir.

$$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$$

 İki Sayının Harmonik Ortalaması

$$H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$$

 Örnek 5: Harmonik Ortalama

Soru: 3, 6 sayılarının harmonik ortalamasını bulunuz.

Çözüm:

$$H = \frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{3}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$

 Harmonik Ortalama Uygulaması

Soru: Bir araç gidiş yolunda 60 km/saat, dönüş yolunda 120 km/saat hızla gidiyor. Ortalama hızı kaç km/saattir?

Çözüm:

Ortalama hız harmonik ortalamayla bulunur (aynı mesafe, farklı hızlar):

$$H = \frac{2 \times 60 \times 120}{60 + 120} = \frac{14400}{180} = 80 \text{ km/saat}$$

 AĞIRLIKLI ORTALAMA

 Tanım

Ağırlıklı Ortalama: Verilen değerlerin belirli ağırlıklarla çarpılıp, ağırlıkların toplamına bölünmesiyle elde edilen değerdir.

$$\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + ... + w_n x_n}{w_1 + w_2 + ... + w_n}$$

 Örnek 6: Sınav Notu Ortalaması

Soru: Bir öğrencinin notları: Yazılı 70 (ağırlık 2), Proje 80 (ağırlık 1), Final 75 (ağırlık 3). Genel ortalaması kaç olur?

Çözüm:

$$\bar{x}_w = \frac{70 \times 2 + 80 \times 1 + 75 \times 3}{2 + 1 + 3} = \frac{140 + 80 + 225}{6} = \frac{445}{6} \approx 74.17$$

 Örnek 7: Hisse Senedi Ortalaması

Soru: Bir yatırımcı: 100 hisse 50 TL, 200 hisse 60 TL, 150 hisse 55 TL aldı. Ortalama alış fiyatı kaç TL'dir?

Çözüm:

$$\bar{x}_w = \frac{100 \times 50 + 200 \times 60 + 150 \times 55}{100 + 200 + 150}$$

$$= \frac{5000 + 12000 + 8250}{450} = \frac{25250}{450} \approx 56.11 \text{ TL}$$

 ORTALAMALAR TABLOSU

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 8: Ortalama ile Bilinmeyen Bulma

Soru: 5 sayının ortalaması 12 ise, bu sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 12$$

$$\sum x_i = 12 \times 5 = 60$$

 Örnek 9: Eksik Veri ile Ortalama

Soru: 4 sayının ortalaması 10'dur. Üç sayı 8, 9, 12 ise, dördüncü sayı kaçtır?

Çözüm:

$$\frac{8 + 9 + 12 + x}{4} = 10$$

$$29 + x = 40$$

$$x = 11$$

 Örnek 10: Ortalama Değişimi

Soru: Bir grubun ortalaması 15'tir. Gruba 25 değerinde bir veri eklenmesiyle ortalama 16 oluyor. Grubun ilk eleman sayısı kaç idi?

Çözüm:

İlk eleman sayısı $n$ olsun:

$$\frac{15n + 25}{n + 1} = 16$$

$$15n + 25 = 16(n + 1)$$

$$15n + 25 = 16n + 16$$

$$-n = -9$$

$$n = 9$$

 Örnek 11: Karşılaştırmalı Ortalama

Soru: A sınıfının ortalaması 75 (32 öğrenci), B sınıfının ortalaması 80 (28 öğrenci). Genel ortalama kaç?

Çözüm:

$$\bar{x} = \frac{75 \times 32 + 80 \times 28}{32 + 28} = \frac{2400 + 2240}{60} = \frac{4640}{60} = 77.33$$

 Örnek 12: Harmonik Ortalama - Hız Problemi

Soru: Bir araç yolun ilk yarısını 60 km/s, ikinci yarısını 40 km/s hızla gidiyor. Ortalama hız kaç km/s'dir?

💡 Önemli: Eşit mesafelerde ortalama hız için HARMONİK ORTALAMA kullanılır!

Çözüm:

Harmonik ortalama formülü:

$$H = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$$

$$H = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}}$$

$$H = \frac{2}{\frac{2}{120} + \frac{3}{120}} = \frac{2}{\frac{5}{120}} = \frac{240}{5} = 48 \text{ km/s}$$

Cevap: Ortalama hız 48 km/s'dir.

❌ Yaygın Hata:

Aritmetik ortalama $(60+40)/2 = 50$ km/s YANLIŞ!

Eşit mesafelerde mutlaka harmonik ortalama kullanılmalıdır.

 Örnek 13: Geometrik Ortalama - Yatırım

Soru: Bir yatırım ilk yıl %20, ikinci yıl %30 kazanç sağlıyor. Ortalama yıllık kazanç yüzdesi nedir?

💡 Açıklama Neden Geometrik Ortalama?

Birleşik faizde/yatırımda yıllık ortalama getiri bulmak için GEOMETRİK ORTALAMA kullanılır, çünkü her yıl bir önceki değerin üzerine kazanç eklenir (çarpımsal büyüme).

❌ Aritmetik ortalama (25%) yanlış sonuç verir!

Çözüm:

İlk yıl: $1 \times 1.20 = 1.20$

İkinci yıl: $1.20 \times 1.30 = 1.56$

Geometrik ortalama çarpanı:

$$r = \sqrt{1.20 \times 1.30} = \sqrt{1.56} \approx 1.2489$$

Yıllık ortalama kazanç:

$$(1.2489 - 1) \times 100 \approx 24.89\%$$

Cevap: Ortalama yıllık kazanç %24.89'dur.

Kontrol:

- 1. yıl sonunda: $100 \times 1.2489 = 124.89$ TL

- 2. yıl sonunda: $124.89 \times 1.2489 = 156$ TL ✓

 Örnek 14: Zaman Ortalaması

Soru: Bir araç A'dan B'ye 60 km/saat, B'den A'ya 40 km/saat hızla gidiyor. Tüm yolculuğun ortalama hızı kaç km/saattir?

Çözüm:

Harmonik ortalama kullanılır (aynı mesafe):

$$H = \frac{2 \times 60 \times 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48 \text{ km/saat}$$

 ORTALAMALAR ARASINDAKİ İLİŞKİ

 Eşitsizlik Teoremi

Pozitif sayılar için her zaman:

$$H \leq G \leq A$$

(Harmonik ≤ Geometrik ≤ Aritmetik)

Eşitlik durumu: Sadece tüm sayılar birbirine eşit olduğunda.

 Örnek: Ortalamalar Arası İlişki

Soru: 2 ve 8 sayıları için üç ortalamayı hesaplayıp karşılaştırınız.

Çözüm:

Aritmetik Ortalama:

$$A = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Geometrik Ortalama:

$$G = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$$

Harmonik Ortalama:

$$H = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{8}} = \frac{2}{\frac{4}{8} + \frac{1}{8}} = \frac{2}{\frac{5}{8}} = \frac{16}{5} = 3.2$$

Karşılaştırma:

$$3.2 < 4 < 5$$

$$H < G < A \quad \checkmark$$

Sonuç: $H \leq G \leq A$ teoremi doğrulanmıştır.

Sonuç: $H \leq G \leq A$ teoremi doğrulanmıştır.

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Ortalama Türü Seçme

- Genel durumlarda: Aritmetik Ortalama

- Oransal büyüme: Geometrik Ortalama

- Hız/Oran problemleri: Harmonik Ortalama

- Farklı ağırlıklar: Ağırlıklı Ortalama

 🎯 Püf Nokta 2: Harmonik Ortalama Uygulaması

Gidiş-dönüş hız problemi veya benzer işlerde harmonik ortalama kullan.

 🎯 Püf Nokta 3: Ağırlıklı Ortalama

Ağırlıkları dikkate almadan basit ortalaması hesaplama, yanlış sonuç verir.

 🎯 Püf Nokta 4: Ortalama Karşılaştırması

Aynı veri kümesi için: Harmonik < Geometrik < Aritmetik

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Yanlış Ortalama Türü

Yanlış: Hız probleminde aritmetik ortalama kullanmak

Doğru: Hız problemlerinde harmonik ortalama kullanmalı

 ❌ Hata 2: Ağırlıkları Unutmak

Yanlış: $\frac{70 + 80 + 90}{3}$ tüm notlar eşit ağırlıklıymış gibi

Doğru: Farklı ağırlıklar varsa ağırlıklı ortalama hesapla

 ❌ Hata 3: Geometrik Ortalama Hatası

Yanlış: Geometrik ortalamada toplama kullanmak

Doğru: Çarpma ve kök alma kullanmalı

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 15: Nüfus Büyümesi

Soru: Bir şehrin nüfusu 2010'da 500.000, 2020'de 800.000 ise, yıllık ortalama büyüme yüzdesi kaç?

Çözüm:

10 yıllık büyüme oranı: $\frac{800000}{500000} = 1.6$

Yıllık oran:

$$r = \sqrt[10]{1.6} \approx 1.0474$$

Yüzde: $(1.0474 - 1) \times 100 \approx 4.74\%$

 SONUÇ

🎉 TEBRİKLER! 

TYT MATEMATİK "ORAN ORANTI" ÜNİTESİ TAMAMLANMIŞTIR!

 Tamamlanan Konular:

1. ✅ Oran ve Orantı Kavramı, Orantı Sabiti, Orantılı Çokluklar

2. ✅ Orantı Çeşitleri, Doğru ve Ters Orantı Problemleri

3. ✅ Ortalama Çeşitleri, Ortalama ile Çözülen Problemler

Oran, orantı ve ortalama kavramları, gerçek hayat problemlerinin çözümünde en sık kullanılan araçlardır. Bu konuları iyi öğrenmek, pratik problem çözme yeteneğini geliştirir.