1. EBOB-EKOK KAVRAMI VE EBOB-EKOK BULMA YÖNTEMLERİ
TEMEL KAVRAMLAR
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
Tanım: İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB denir.
Gösterim: $\gcd(a,b)$ veya $\text{EBOB}(a,b)$
Örnek: $\text{EBOB}(12, 18)$
- $12$'nin bölenleri: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
- $18$'in bölenleri: $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$
- Ortak bölenler: $\{1, 2, 3, 6\}$
- EBOB: $6$
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
Tanım: İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir.
Gösterim: $\text{lcm}(a,b)$ veya $\text{EKOK}(a,b)$
Örnek: $\text{EKOK}(12, 18)$
- $12$'nin katları: $\{12, 24, 36, 48, 60, 72, ...\}$
- $18$'in katları: $\{18, 36, 54, 72, 90, ...\}$
- Ortak katlar: $\{36, 72, 108, ...\}$
- EKOK: $36$
EBOB-EKOK Görselleştirmesi:
EBOB-EKOK ÖZELLİKLERİ
Temel Özellikler
1. EBOB-EKOK İlişkisi: $\text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) = a \times b$
2. Aralarında Asal: $\text{EBOB}(a,b) = 1$ ise $\text{EKOK}(a,b) = a \times b$
3. Bölenlik İlişkisi: $a \mid b$ ise $\text{EBOB}(a,b) = a$ ve $\text{EKOK}(a,b) = b$
4. Değişme Özelliği: $\text{EBOB}(a,b) = \text{EBOB}(b,a)$
5. Birleşme Özelliği: $\text{EBOB}(a,b,c) = \text{EBOB}(\text{EBOB}(a,b),c)$
Çoklu Sayılar İçin
$$\text{EBOB}(a_1, a_2, ..., a_n) \times \text{EKOK}(a_1, a_2, ..., a_n) \neq a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$$
Bu eşitlik sadece iki sayı için geçerlidir!
EBOB-EKOK BULMA YÖNTEMLERİ
Yöntem 1: Asal Çarpanlarına Ayırma
Algoritma:
1. Sayıları asal çarpanlarına ayır
2. EBOB: Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetleri
3. EKOK: Tüm asal çarpanların en büyük kuvvetleri
Örnek: $\text{EBOB}(72, 108)$ ve $\text{EKOK}(72, 108)$
Yöntem 2: Öklid Algoritması (Sürekli Bölme)
EBOB için Öklid Algoritması:
$\text{EBOB}(a,b) = \text{EBOB}(b, a \bmod b)$
Kalan 0 olana kadar devam et, son bölen EBOB'dur.
Örnek: $\text{EBOB}(252, 105)$
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1: İki Sayının EBOB-EKOK'u
Soru: $\text{EBOB}(180, 252)$ ve $\text{EKOK}(180, 252)$ değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Asal çarpanlarına ayırma yöntemi:
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$
$\text{EBOB}(180, 252) = 2^2 \times 3^2 = 36$
$\text{EKOK}(180, 252) = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260$
Kontrol: $36 \times 1260 = 45360 = 180 \times 252$ ✓
Örnek 2: Öklid Algoritması
Soru: $\text{EBOB}(1071, 462)$ değerini Öklid algoritması ile bulunuz.
Çözüm:
$1071 = 462 \times 2 + 147$
$462 = 147 \times 3 + 21$
$147 = 21 \times 7 + 0$
Sonuç: $\text{EBOB}(1071, 462) = 21$
Örnek 3: Üç Sayının EBOB-EKOK'u
Soru: $\text{EBOB}(120, 150, 200)$ ve $\text{EKOK}(120, 150, 200)$ değerlerini bulunuz.
Çözüm:
$120 = 2^3 \times 3 \times 5$
$150 = 2 \times 3 \times 5^2$
$200 = 2^3 \times 5^2$
$\text{EBOB}(120, 150, 200) = 2^1 \times 3^0 \times 5^1 = 10$
$\text{EKOK}(120, 150, 200) = 2^3 \times 3^1 \times 5^2 = 600$
Örnek 4: Koşullu EBOB-EKOK
Soru: İki sayının toplamı 60, EKOK'u 150'dir. Bu sayıları bulunuz.
Çözüm:
İki sayı $a$ ve $b$ olsun. $a + b = 60$ ve $\text{EKOK}(a,b) = 150$
$\text{EBOB}(a,b) = d$ olsun. O halde $a = dx$, $b = dy$ ($\gcd(x,y) = 1$)
$dx + dy = 60 \Rightarrow d(x+y) = 60$
$\text{EKOK}(dx, dy) = dxy = 150$
$xy = \frac{150}{d}$ ve $x + y = \frac{60}{d}$
$d = 10$ deneyelim: $x + y = 6$, $xy = 15$
$(x,y)$ için $t^2 - 6t + 15 = 0$ denkleminin diskriminantı $36 - 60 = -24 < 0$ ✗
$d = 5$ deneyelim: $x + y = 12$, $xy = 30$
$t^2 - 12t + 30 = 0$ denkleminin diskriminantı $144 - 120 = 24 > 0$ ✓
$t = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}$
Bu tam sayı değil. $d = 15$ deneyelim: $x + y = 4$, $xy = 10$
$t^2 - 4t + 10 = 0$ diskriminantı $16 - 40 = -24 < 0$ ✗
Sistematik çözüm: $a = 30, b = 30$ ise $\text{EKOK} = 30 \neq 150$
Doğru yaklaşım: $a = 25, b = 35$ kontrol edelim.
$25 + 35 = 60$ ✓
$\text{EKOK}(25, 35) = \text{EKOK}(5^2, 5 \times 7) = 5^2 \times 7 = 175 \neq 150$ ✗
Sonuç: Problem koşulları tutarlı değil.
Örnek 5: Genişletilmiş Öklid Algoritması
Soru: $17x + 13y = \text{EBOB}(17, 13)$ denklemini çözünüz.
Çözüm:
$\text{EBOB}(17, 13)$ bulalım:
$17 = 13 \times 1 + 4$
$13 = 4 \times 3 + 1$
$4 = 1 \times 4 + 0$
$\text{EBOB}(17, 13) = 1$
Geriye doğru yerine koyma:
$1 = 13 - 4 \times 3$
$1 = 13 - (17 - 13 \times 1) \times 3$
$1 = 13 - 17 \times 3 + 13 \times 3$
$1 = 13 \times 4 - 17 \times 3$
$1 = 17 \times (-3) + 13 \times 4$
Sonuç: $x = -3, y = 4$
PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER
🎯 Püf Nokta 1: EBOB-EKOK İlişkisi
$\text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) = a \times b$ (Sadece iki sayı için!)
🎯 Püf Nokta 2: Öklid Algoritması Hızlı
Büyük sayılar için Öklid algoritması en hızlı yöntemdir.
🎯 Püf Nokta 3: Aralarında Asal Kontrol
$\text{EBOB}(a,b) = 1$ ise $\text{EKOK}(a,b) = a \times b$
🎯 Püf Nokta 4: Çoklu Sayılarda EKOK
$\text{EKOK}(a,b,c) = \text{EKOK}(\text{EKOK}(a,b), c)$
YAYGIN HATALAR
❌ Hata 1: Çoklu Sayılarda İlişki
Yanlış: $\text{EBOB}(a,b,c) \times \text{EKOK}(a,b,c) = a \times b \times c$
Doğru: Bu sadece iki sayı için geçerlidir
❌ Hata 2: EKOK Hesabı
Yanlış: EKOK'ta en küçük kuvvetleri almak
Doğru: EKOK'ta en büyük kuvvetleri almak
❌ Hata 3: Öklid Algoritması Sırası
Yanlış: Küçük sayıyı büyük sayıya bölmek
Doğru: Büyük sayıyı küçük sayıya bölmek
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!