ÜSLÜ DENKLEMLER

 Temel Kavram

Üslü Denklem: İçinde üslü ifadeler bulunan denklemdir.

Genel Şekil: $a^x = b$ veya $a^{f(x)} = a^{g(x)}$

 Çözüm Yöntemleri

 Yöntem 1: Tabanları Eşitleme

Eğer denklemin her iki tarafını aynı tabanda yazabilirsek, üsleri eşitleriz.

Kural: $a^m = a^n$ ise $m = n$ (burada $a > 0$ ve $a \neq 1$)

Örnek: $2^x = 2^5$ ise $x = 5$

 Yöntem 2: Tabanı Dönüştürme

Soru: $8^x = 32$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Her iki tarafı 2'nin kuvveti olarak yazalım:

- $8 = 2^3$ → $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$

- $32 = 2^5$ → $32 = 2^5$

Denklem: $2^{3x} = 2^5$

Tabanlar aynı olduğundan:

$$3x = 5$$

$$x = \frac{5}{3}$$

 Yöntem 3: Logaritma Kullanma

Soru: $3^x = 10$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Tabanları eşitleyemediğimiz için logaritma kullanırız:

$$x = \log_3 10$$

 ÇÖZÜMLÜ DENKLEM ÖRNEKLERİ

 Örnek 1: Basit Üslü Denklem

Soru: $3^x = 81$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$81 = 3^4$ olduğundan:

$$3^x = 3^4$$

$$x = 4$$

 Örnek 2: Tabanı Dönüştürme

Soru: $4^x = 64$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

Tabanları 2'nin kuvveti olarak yazalım:

- $4 = 2^2$ → $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

- $64 = 2^6$ → $64 = 2^6$

$$2^{2x} = 2^6$$

$$2x = 6$$

$$x = 3$$

 Örnek 3: Karmaşık Taban

Soru: $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ ve $8 = 2^3$ olduğundan:

$$(2^{-1})^x = 2^3$$

$$2^{-x} = 2^3$$

$$-x = 3$$

$$x = -3$$

 Örnek 4: İki Taraflı Denklem

Soru: $2^{x+1} = 32$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$2^{x+1} = 2^5$$

$$x + 1 = 5$$

$$x = 4$$

 Örnek 5: Çarpım Denklem

Soru: $2^x \times 3^x = 36$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$(2 \times 3)^x = 36$$

$$6^x = 36$$

$$6^x = 6^2$$

$$x = 2$$

 Örnek 6: İçeride Denklem

Soru: $2^{x^2} = 16$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$2^{x^2} = 2^4$$

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$

Çözüm Kümesi: $Ç = \{-2, 2\}$

 Örnek 7: Üslü Denklem Sistemi

Soru: $2^x = 8$ ve $3^y = 27$ denklemlerini çözünüz.

Çözüm:

$$2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$$

$$3^y = 3^3 \Rightarrow y = 3$$

Çözüm: $(x, y) = (3, 3)$

 ÜSLÜ SAYILARIN SIRALAMA

 Sıralama Yöntemleri

 Yöntem 1: Tabanları Eşitleme

Soru: $2^5$ ve $2^3$ sayılarını karşılaştırınız.

Çözüm:

Tabanlar aynı olduğundan, üsü büyük olan daha büyüktür.

$$2^5 > 2^3$$

 Yöntem 2: Üsleri Eşitleme

Soru: $2^6$ ve $3^6$ sayılarını karşılaştırınız.

Çözüm:

Üsler aynı olduğundan, tabanı büyük olan daha büyüktür.

$$3^6 > 2^6$$

 Yöntem 3: Tabanları Dönüştürme

Soru: $4^3$ ve $8^2$ sayılarını karşılaştırınız.

Çözüm:

Her ikisini 2'nin kuvveti olarak yazalım:

- $4^3 = (2^2)^3 = 2^6 = 64$

- $8^2 = (2^3)^2 = 2^6 = 64$

$$4^3 = 8^2$$

 Yöntem 4: Sayısal Hesaplama

Soru: $3^3$ ve $2^5$ sayılarını karşılaştırınız.

Çözüm:

- $3^3 = 27$

- $2^5 = 32$

$$3^3 < 2^5$$

 ÇÖZÜMLÜ SIRALAMA ÖRNEKLERİ

 Örnek 8: Aynı Taban

Soru: $2^2, 2^4, 2^3$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

Tabanlar aynı olduğundan, üslere göre sıralıyoruz:

$$2^2 < 2^3 < 2^4$$

$$4 < 8 < 16$$

 Örnek 9: Aynı Üs

Soru: $2^4, 3^4, 4^4$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

Üsler aynı olduğundan, tablara göre sıralıyoruz:

$$2^4 < 3^4 < 4^4$$

$$16 < 81 < 256$$

 Örnek 10: Tabanı Dönüştürme

Soru: $8^2, 4^3, 2^6$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

Her birini 2'nin kuvveti olarak yazalım:

- $8^2 = (2^3)^2 = 2^6 = 64$

- $4^3 = (2^2)^3 = 2^6 = 64$

- $2^6 = 64$

$$8^2 = 4^3 = 2^6 = 64$$

 Örnek 11: Negatif Üs

Soru: $2^{-1}, 2^{-3}, 2^0$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

- $2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$

- $2^{-3} = \frac{1}{8} = 0.125$

- $2^0 = 1$

$$2^{-3} < 2^{-1} < 2^0$$

$$0.125 < 0.5 < 1$$

 Örnek 12: Karmaşık Sıralama

Soru: $3^2, 2^3, 3^1, 2^2$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

- $3^2 = 9$

- $2^3 = 8$

- $3^1 = 3$

- $2^2 = 4$

$$3^1 < 2^2 < 2^3 < 3^2$$

$$3 < 4 < 8 < 9$$

 Örnek 13: Kesirli Tabanlar

Soru: $\left(\frac{1}{2}\right)^1, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

- $\left(\frac{1}{2}\right)^1 = 0.5$

- $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.25$

- $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 0.125$

Taban 0 ile 1 arasında olduğundan, üs arttıkça değer küçülür:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 < \left(\frac{1}{2}\right)^1$$

$$0.125 < 0.25 < 0.5$$

 Örnek 14: Tabanını Değiştirme

Soru: $16^{0.5}$ ve $32^{0.2}$ sayılarını karşılaştırınız.

Çözüm:

- $16^{0.5} = \sqrt{16} = 4$

- $32^{0.2} = 32^{1/5} = \sqrt[5]{32} = 2$

$$32^{0.2} < 16^{0.5}$$

$$2 < 4$$

 SIRALAMA TABLOSU

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Tabanları Eşitleme

Farklı tabanları aynı tabanda yazabilirsek, denklemleri çözmek çok kolaylaşır.

 🎯 Püf Nokta 2: 0 ile 1 Arasında

$0 < a < 1$ olduğunda, üs arttıkça değer küçülür.

 🎯 Püf Nokta 3: 1'den Büyük

$a > 1$ olduğunda, üs arttıkça değer artar.

 🎯 Püf Nokta 4: Özel Durumlar

- Negatif sayının çift üssü pozitif

- Negatif sayının tek üssü negatif

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Tabanları Eşitlememek

Yanlış: $2^x = 3^2$ → $x = 2$

Doğru: Tabanları eşitleme veya logaritma kullan

 ❌ Hata 2: Sıralamada Taban Unutmak

Yanlış: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 > \left(\frac{1}{2}\right)^2$ (Çünkü 3 > 2)

Doğru: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^2$

 ❌ Hata 3: Negatif Üs İşareti

Yanlış: $2^{-3} = -8$

Doğru: $2^{-3} = \frac{1}{8}$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 15: Parametreli Denklem

Soru: $(2^x)^2 = 256$ denklemini çözünüz.

Çözüm:

$$(2^x)^2 = 256$$

$$2^{2x} = 2^8$$

$$2x = 8$$

$$x = 4$$

 Örnek 16: Üslü Kesir

Soru: $\frac{4^3}{2^2}$ ve $8^2$ sayılarını karşılaştırınız.

Çözüm:

$\frac{4^3}{2^2} = \frac{(2^2)^3}{2^2} = \frac{2^6}{2^2} = 2^4 = 16$

$8^2 = (2^3)^2 = 2^6 = 64$

$$\frac{4^3}{2^2} < 8^2$$

$$16 < 64$$

 Örnek 17: Çoklu Tabanları Dönüştürme

Soru: $9^2, 27^{4/3}, 3^4$ sayılarını sıralamak.

Çözüm:

Hepsini 3'ün kuvveti olarak yazalım:

- $9^2 = (3^2)^2 = 3^4 = 81$

- $27^{4/3} = (3^3)^{4/3} = 3^4 = 81$

- $3^4 = 81$

$$9^2 = 27^{4/3} = 3^4$$

 SONUÇ

🎉 TEBRİKLER! 

TYT MATEMATİK "ÜSLÜ SAYILAR" ÜNİTESİ TAMAMLANMIŞTIR!

 Tamamlanan Konular:

1. ✅ Üslü Sayılarda Temel İşlemler

2. ✅ Üslü Sayılarda Denklemler ve Sıralama

Üslü sayılar, matematikçin temel araçlarından biridir. Özellikle denklem çözmede tabanları eşitleme yöntemi ve sıralamada taban-üs ilişkisini anlama kritiktir.