Tanım

Yüzde: Bir niceliğin 100 birimlik bir bütün içindeki oranını gösteren matematiksel bir kavramdır. Yüzde işareti (%) ile gösterilir ve "her 100'de" anlamına gelir.

Örnek: Bir sınıfta 40 öğrencinin 10'u kızsa, kızların oranı $\frac{10}{40} = 0.25$ ve yüzde olarak $0.25 \times 100 = 25\%$'tir.

 Temel Yüzde Gösterimleri

- Ondalık: $25\% = 0.25$

- Kesir: $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

- Oran: $25\% = 1:4$

 Temel Formüller

1. Bir sayının %a'sini bulma:

$$\text{Değer} = \text{Sayı} \times \frac{a}{100}$$

2. Bir sayının yüzde kaç olduğunu bulma:

$$\text{Yüzde} = \frac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \times 100$$

3. Artış-Azalış Yüzdesi:

$$\text{Yüzde değişim} = \frac{\text{Yeni değer} - \text{Eski değer}}{\text{Eski değer}} \times 100$$

 GÖRSEL 1: YÜZDE KAVRAMININ TEMEL YAPISI

 ÖRNEK 1: TEMEL YÜZDE HESABI

Soru: 240'ın %15'i kaçtır?

Çözüm:

$$240 \times \frac{15}{100} = 240 \times 0.15 = 36$$

Kontrol:

- Formül doğru uygulandı mı? ✓

- Sonuç mantıklı mı? (240'ın %15'i 36, ✓)

Cevap: 36

 ÖRNEK 2: PARÇA-BÜTÜN YÜZDESI

Soru: Bir kutuda 80 kalem var, 32'si kırmızı. Kırmızı kalemlerin kutudaki yüzde oranı kaçtır?

Çözüm:

$$\frac{32}{80} \times 100 = 0.4 \times 100 = 40\%$$

Kontrol:

- Parça (32) ve bütün (80) doğru tanımlandı mı? ✓

- Sonuç % olarak yazıldı mı? ✓

Cevap: %40

 ÖRNEK 3: YÜZDE ARTIŞ

Soru: Bir ürünün fiyatı 200 TL'den 250 TL'ye çıkıyor. Yüzde kaç artmıştır?

Çözüm:

- Artış miktarı: $250 - 200 = 50$ TL

- Yüzde artış: $\frac{50}{200} \times 100 = 25\%$

Kontrol:

- Başlangıç (200) ve sonuç (250) karşılaştırıldı mı? ✓

- Yüzde tabanı başlangıç değeri mi? ✓

Cevap: +%25

GÖRSEL 2: ARTIŞ VE AZALIŞ SÜRECİ

 ÖRNEK 4: YÜZDE AZALIŞ

Soru: 120 TL'lik bir ürün %20 indirimle satılıyor. İndirimli fiyatı nedir?

Çözüm:

- İndirim miktarı: $120 \times \frac{20}{100} = 24$ TL

- İndirimli fiyat: $120 - 24 = 96$ TL

Alternatif Formül:

$$120 \times (1 - 0.20) = 120 \times 0.80 = 96 \text{ TL}$$

Kontrol:

- %20 indirim doğru hesaplandı mı? ✓

- Yeni fiyat başlangıçtan küçük mü? ✓

Cevap: 96 TL

 ÖRNEK 5: BİRİM YÜZDE PROBLEMİ

Soru: Bir sınıfta öğrencilerin %60'ı kız, 18'i erkek. Sınıfta kaç öğrenci var?

Çözüm:

- Kız oranı: %60 ⟹ Erkek oranı: %40

- $18 = \text{Toplam} \times \frac{40}{100}$

- $\text{Toplam} = \frac{18 \times 100}{40} = 45$

Kontrol:

- Kızlar: $45 \times 0.60 = 27$ ✓

- Erkekler: $45 \times 0.40 = 18$ ✓

- Toplam: $27 + 18 = 45$ ✓

Cevap: 45 öğrenci

 TABLO: TEMELİ YÜZDE İŞLEMLERİ ÖZETİ

 BÖLÜM 2: ARDIŞIK YÜZDE İŞLEMLERİ

 Tanım

Ardışık Yüzde İşlemleri: Bir nicelik üzerine art arda yüzde artışı veya azalışı uygulanması.

Temel Mantık:

- Her adımda yeni değer üzerinden işlem yapılır

- Katsayılar çarpılır, yüzdeler toplanmaz

- Artış: $(1 + \frac{y}{100})$, Azalış: $(1 - \frac{y}{100})$ kullanılır

 Temel Formül

$$\text{Son Değer} = \text{Başlangıç} \times (1 + \frac{y_1}{100}) \times (1 + \frac{y_2}{100}) \times \dots$$

 GÖRSEL 3: ARDIŞIK ARTIŞ / AZALIŞ SÜRECİ

 ÖRNEK 1: İKİ ARDIŞIK ARTIŞ

Soru: Bir ürün ilk ay %20 pahalılaşıyor, ikinci ay %25 daha pahalılaşıyor. İki ay sonra başlangıç fiyatına göre toplam yüzde kaç artmıştır?

Çözüm:

- Başlangıç fiyatı = 100 TL

- 1. ay sonrası: $100 \times 1.20 = 120$ TL

- 2. ay sonrası: $120 \times 1.25 = 150$ TL

- Toplam artış: $\frac{150-100}{100} \times 100\% = +\%50$

Kontrol:

- Başlangıç (100) ve sonuç (150) karşılaştırıldı mı? ✓

- Formül doğru uygulandı mı? ✓

- Sonuç mantıklı mı? ✓

Cevap: +%50

 ÖRNEK 2: ARTIŞ SONRA AZALIŞ

Soru: Bir ürün %30 pahalılaştıktan sonra %20 indirime giriyorsa, başlangıçtan toplam yüzde kaç değişim olur?

Çözüm:

- Başlangıç: 100 TL

- Pahalılaşma: $100 \times 1.30 = 130$ TL

- İndirim: $130 \times 0.80 = 104$ TL

- Net değişim: $\frac{104-100}{100} \times 100\% = +\%4$

Formül:

$$100 \times 1.30 \times 0.80 = 100 \times 1.04 = 104 \text{ TL}$$

Kontrol:

- Artış ve azalış doğru uygulandı mı? ✓

- Son değer başlangıçtan büyük mü? ✓ (104 > 100)

Cevap: +%4

 GÖRSEL 2: ZAM + İNDİRİM KARŞILAŞTIRMASI (❌ YANLIŞ vs ✓ DOĞRU)

 ÖRNEK 3: ÜÇ ARDIŞIK AZALIŞ

Soru: Bir ürünün fiyatı üç ayda sırasıyla %10, %20 ve %25 azalıyor. Başlangıç fiyatından toplam yüzde kaç azalış olur?

Çözüm:

- Başlangıç: 1000 TL

- 1. ay sonrası: $1000 \times 0.90 = 900$ TL

- 2. ay sonrası: $900 \times 0.80 = 720$ TL

- 3. ay sonrası: $720 \times 0.75 = 540$ TL

Formül:

$$1000 \times 0.90 \times 0.80 \times 0.75 = 1000 \times 0.54 = 540 \text{ TL}$$

Net azalış: $\frac{1000-540}{1000} \times 100\% = \%46$ azalış

Kontrol:

- Tüm azalışlar doğru uygulandı mı? ✓

- Katsayılar çarpıldı mı? (0.54 = 0.90 × 0.80 × 0.75) ✓

Cevap: %46 azalış

 ÖRNEK 4: TERS PROBLEM — BAŞLANGICI BULMA

Soru: Bir ürün %25 pahalılaştıktan sonra fiyatı 250 TL oluyorsa, başlangıç fiyatı kaç TL idi?

Çözüm:

$$x \times 1.25 = 250$$

$$x = \frac{250}{1.25} = 200 \text{ TL}$$

Kontrol:

$$200 \times 1.25 = 250 \text{ TL} \,\checkmark$$

Cevap: 200 TL

 ÖRNEK 5: ARDIŞIK İŞLEMDE YÜZDEYİ BULMA ⭐ (YENİ)

Soru: Bir ürün başlangıçta 100 TL. İki ay art arda aynı yüzde oranında %x artış yapılıyor ve son fiyat 144 TL oluyor. Aylık yüzde artış kaçtır?

Çözüm:

$$100 \times (1 + \frac{x}{100})^2 = 144$$

$$(1 + \frac{x}{100})^2 = 1.44$$

$$1 + \frac{x}{100} = \sqrt{1.44} = 1.2$$

$$\frac{x}{100} = 0.2$$

$$x = 20\%$$

Kontrol:

$$100 \times 1.20 \times 1.20 = 144 \,\checkmark$$

Cevap: Aylık %20 artış

 TABLO: YÜZDE ARTIŞ / AZALIŞ ÖZET

 GÖRSEL 3: KONTROL MEKANIZMASI (AKIŞ DİYAGRAMI)

 KONTROL MEKANIZMASI (LİSTE HALI)

-  Adım 1: Başlangıç değeri ve işlem yönü (artış mı azalış mı?) doğru mu?

-  Adım 2: Her katsayı doğru mu? 

  - Artış: $(1 + \frac{y}{100})$ 

  - Azalış: $(1 - \frac{y}{100})$

-  Adım 3: Katsayılar çarpıldı mı? (toplanmadı mı?)

- Adım 4: Son değer mantıklı mı? (Çok büyük/küçük değil mi?)

- Adım 5: Başlangıç ve sonuç karşılaştırıldı mı?

 YAYGÜN HATALAR VE DÜZELTMELER

 ❌ Hata 1: Yüzdeler Toplanır

Yanlış: %20 + %25 = %45, demek %45 artmıştır.

Doğru: 

$$100 \times 1.20 \times 1.25 = 150 \text{ TL} \Rightarrow \%50 \text{ artış}$$

Neden? Her adımda yeni tabanla çarpıyoruz, eklemiyor.

 ❌ Hata 2: Zam ve İndirim Tabanı Karışması

Yanlış: %10 zam + %10 indirim = 100 TL (değişim yok)

Doğru:

- 100 TL × 1.10 = 110 TL

- 110 TL × 0.90 = 99 TL

- Sonuç: %1 azalış

Neden? Zam tabanı (100) ve indirim tabanı (110) farklı.

 ❌ Hata 3: Negatif Yüzde İşareti Yanlis Kullanma

Yanlış: %50 azalış = 1 − 50 = −49

Doğru: %50 azalış = $(1 − 0.50) = 0.50$

Neden? Yüzde değerini 100'e bölerek ondalık hale çevirmeliyiz.

 PÜF NOKTALAR

✓ Yüzdeler çarpılmaz, toplanmaz.  

✓ Her adımda yeni değer üzerinden işlem yapılır.  

✓ Negatif yüzde: $(1 - \frac{y}{100})$ formatında yazılır.  

✓ Ters problem: Denklem kur ve tersini hesapla.  

✓ Kontrol et: Başlangıç ve sonuç karşılaştır.