BÖLME İŞLEMİNİN TANIMI

 Temel Kavramlar

Bölme İşlemi: $a$ ve $b$ tam sayıları için ($b \neq 0$), $a$'yı $b$'ye bölme işlemi:

$$a \div b = q + \frac{r}{b}$$

Burada:

- $a$: Bölünen (dividend)

- $b$: Bölen (divisor) 

- $q$: Bölüm (quotient)

- $r$: Kalan (remainder)

 Bölme Algoritması (Öklid Algoritması)

Temel Teorem: $a$ ve $b$ tam sayıları ($b > 0$) için, aşağıdaki koşulları sağlayan tek bir $q$ ve $r$ tam sayı çifti vardır:

$$a = b \cdot q + r$$

Koşullar:

- $0 \leq r < b$ (kalan, bölenden küçüktür)

- $q \in \mathbb{Z}$ (bölüm tam sayıdır)

 Görsel Gösterim:

 TAM BÖLME VE KALANLI BÖLME

 Tam Bölme

Tanım: $r = 0$ olduğunda tam bölme gerçekleşir.

$$a = b \cdot q \text{ (tam bölme)}$$

Bu durumda "$b$, $a$'yı böler" denir ve $b \mid a$ ile gösterilir.

Örnekler:

- $20 = 4 \times 5$ → $4 \mid 20$

- $36 = 6 \times 6$ → $6 \mid 36$

 Kalanlı Bölme 

Tanım: $r \neq 0$ olduğunda kalanlı bölme gerçekleşir.

$$a = b \cdot q + r \text{ } (0 < r < b)$$

Örnekler:

- $23 = 7 \times 3 + 2$

- $41 = 5 \times 8 + 1$

 MODÜLER ARİTMETİK

 Mod İşlemi

Tanım: $a \bmod b = r$ ifadesi, $a$'nın $b$'ye bölümünden kalan $r$'yi verir.

$$a \equiv r \pmod{b}$$

Bu durumda "$a$, $r$ ile $b$ modülo eşdeğerdir" denir.

 Modüler Aritmetik Özellikleri:

 1. Toplama Özelliği

$$(a + c) \bmod b = [(a \bmod b) + (c \bmod b)] \bmod b$$

 2. Çarpma Özelliği 

$$(a \times c) \bmod b = [(a \bmod b) \times (c \bmod b)] \bmod b$$

 3. Üs Alma Özelliği

$$a^n \bmod b = [(a \bmod b)^n] \bmod b$$

 Modüler Aritmetik Tablosu:

Belirli bir modülde (örneğin mod 7) kalan değerler arasında yapılan toplama işlemleri, tablo şeklinde gösterilebilir. Bu tabloda:

• Satır ve sütun başlıkları, toplama işlemine giren sayıları (mod içindeki kalanı) temsil eder.
• Her hücre, ilgili satır ve sütundaki sayıların modüler toplama sonucunu gösterir.

Bu tür tablolar, modüler aritmetiği görselleştirmek ve işlem mantığını kavramak için oldukça faydalıdır.

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Temel Bölme İşlemi

Soru: $847$'yi $23$'e böldüğünüzde bölüm ve kalanı bulunuz.

Çözüm:

$847 \div 23$ işlemini yapalım:

$847 = 23 \times q + r$ formunda yazalım.

$23 \times 36 = 828$

$23 \times 37 = 851$

$828 < 847 < 851$ olduğundan $q = 36$

$r = 847 - 828 = 19$

Sonuç: $847 = 23 \times 36 + 19$

- Bölüm: $36$

- Kalan: $19$

 Örnek 2: Negatif Sayılarla Bölme

Soru: $-47$'yi $6$'ya böldüğünüzde bölüm ve kalanı bulunuz.

Çözüm:

$-47 = 6 \times q + r$ ($0 \leq r < 6$)

$6 \times (-8) = -48$

$6 \times (-7) = -42$

$-48 < -47 < -42$ ve $-47 = -48 + 1$

$-47 = 6 \times (-8) + 1$

Sonuç: Bölüm: $-8$, Kalan: $1$

 Örnek 3: Modüler Aritmetik

Soru: $73 + 48 \pmod{11}$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Yöntem 1: Doğrudan hesaplama

$73 + 48 = 121$

$121 = 11 \times 11 + 0$

$121 \equiv 0 \pmod{11}$

Yöntem 2: Modüler özellik kullanarak

$73 = 11 \times 6 + 7 \Rightarrow 73 \equiv 7 \pmod{11}$

$48 = 11 \times 4 + 4 \Rightarrow 48 \equiv 4 \pmod{11}$

$(73 + 48) \equiv (7 + 4) \equiv 11 \equiv 0 \pmod{11}$

 Örnek 4: Büyük Sayılarda Mod İşlemi

Soru: $2^{10} \bmod 7$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Adım adım hesaplayalım:

- $2^1 \equiv 2 \pmod{7}$

- $2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

- $2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ olduğundan döngü var!

$2^{10} = 2^{3 \times 3 + 1} = (2^3)^3 \times 2^1 \equiv 1^3 \times 2 \equiv 2 \pmod{7}$

Sonuç: $2^{10} \equiv 2 \pmod{7}$

 Örnek 5: Çok Basamaklı Sayıda Kalan

Soru: $123456789$ sayısının $37$'ye bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm:

Uzun bölme yapmak yerine modüler aritmetik kullanalım:

$123456789 = 1 \times 10^8 + 2 \times 10^7 + 3 \times 10^6 + ... + 9$

Her terimi $\bmod 37$ hesaplayalım:

- $10 \equiv 10 \pmod{37}$

- $10^2 \equiv 100 \equiv 26 \pmod{37}$

- $10^3 \equiv 260 \equiv 1 \pmod{37}$

$10^3 \equiv 1 \pmod{37}$ olduğundan:

- $10^6 \equiv 1 \pmod{37}$

- $10^7 \equiv 10 \pmod{37}$

- $10^8 \equiv 26 \pmod{37}$

$123456789 \equiv 1 \times 26 + 2 \times 10 + 3 \times 1 + 4 \times 26 + 5 \times 10 + 6 \times 1 + 7 \times 26 + 8 \times 10 + 9 \pmod{37}$

$\equiv 26 + 20 + 3 + 104 + 50 + 6 + 182 + 80 + 9 \pmod{37}$

$\equiv 26 + 20 + 3 + 30 + 13 + 6 + 34 + 6 + 9 \pmod{37}$

$\equiv 147 \equiv 36 \pmod{37}$

Sonuç: Kalan $36$'dır.

 Örnek 6: Sistem Denklemi

Soru: $x \equiv 3 \pmod{5}$ ve $x \equiv 2 \pmod{7}$ koşullarını sağlayan en küçük pozitif $x$ değerini bulunuz.

Çözüm:

İlk koşuldan: $x = 5k + 3$ ($k$ tam sayı)

İkinci koşula yerleştirelim:

$5k + 3 \equiv 2 \pmod{7}$

$5k \equiv -1 \equiv 6 \pmod{7}$

$5 \times 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$ olduğundan $5^{-1} \equiv 3 \pmod{7}$

$k \equiv 3 \times 6 \equiv 18 \equiv 4 \pmod{7}$

$k = 7j + 4$ ($j$ tam sayı)

$x = 5(7j + 4) + 3 = 35j + 20 + 3 = 35j + 23$

En küçük pozitif değer: $x = 23$

Kontrol:

- $23 = 5 \times 4 + 3$ ✓

- $23 = 7 \times 3 + 2$ ✓

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Kalan Sınırları

Kalan her zaman $0 \leq r < b$ koşulunu sağlar. Negatif bölünenlerde bile kalan pozitiftir.

 🎯 Püf Nokta 2: Modüler Üs Alma

Büyük üslü sayıların mod değerini bulmak için döngü arayın:

$a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$ (Euler teoremi)

 🎯 Püf Nokta 3: Çin Kalan Teoremi

İki sayı aralarında asal ise, denklem sisteminin çözümü vardır:

$x \equiv a \pmod{m}$ ve $x \equiv b \pmod{n}$ ($\gcd(m,n) = 1$)

 🎯 Püf Nokta 4: Hızlı Mod Hesabı

$10^3 \equiv 1 \pmod{37}$, $10^3 \equiv 1 \pmod{111}$ gibi özellikler kullanın.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Negatif Kalan

Yanlış: $-13 \div 5 = -3$ kalan $2$

Doğru: $-13 = 5 \times (-3) + 2$ (kalan pozitif olmalı)

 ❌ Hata 2: Mod İşlemi Karışıklığı

Yanlış: $(a + b) \bmod n = a \bmod n + b \bmod n$

Doğru: $(a + b) \bmod n = [(a \bmod n) + (b \bmod n)] \bmod n$

 ❌ Hata 3: Bölüm İşareti

Yanlış: Kalanlı bölmede bölümü yuvarlamak

Doğru: Bölüm her zaman aşağı yuvarlanır (floor function)

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 7: Döngüsel Kalan

Soru: $7^{100} \bmod 13$ değerini bulunuz.

Çözüm:

Fermat'ın Küçük Teoremi: $p$ asal, $\gcd(a,p) = 1$ ise $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

$13$ asal ve $\gcd(7,13) = 1$ olduğundan:

$7^{12} \equiv 1 \pmod{13}$

$100 = 12 \times 8 + 4$

$7^{100} = (7^{12})^8 \times 7^4 \equiv 1^8 \times 7^4 \equiv 7^4 \pmod{13}$

$7^2 = 49 \equiv 10 \pmod{13}$

$7^4 = (7^2)^2 \equiv 10^2 = 100 \equiv 9 \pmod{13}$

Sonuç: $7^{100} \equiv 9 \pmod{13}$

 Örnek 8: Pratik Uygulama

Soru: Bir sayının son iki basamağı $37$ ise, bu sayının $37$'ye bölünüp bölünmediğini belirleyiniz.

Çözüm:

Son iki basamağı $37$ olan sayı: $\overline{...37} = 100k + 37$

$100 = 37 \times 2 + 26$ olduğundan:

$100k + 37 = 37 \times 2k + 26k + 37 = 37(2k + 1) + 26k$

$26k$'nın $37$'ye bölünüp bölünmediği $k$'ya bağlıdır.

Sonuç: Son iki basamağı $37$ olan sayı $37$'ye bölünmeyebilir.

 SONUÇ

Bölme işlemi ve bölen-kalan ilişkisi, sayı teorisinin temelini oluşturur. Modüler aritmetik, kriptografi ve bilgisayar bilimlerinde kritik öneme sahiptir.