TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

Sayma teknikleri, çok sayıda olası durumu hızlı ve sistematik olarak bulmamızı sağlar. Özellikle olasılık ve kombinatorik problemlerin temelini oluşturur.

BAŞARI KILIT: Sıra önemli mi? Tekrarlı mi? Toplama mı Çarpma mı? Önce karar ver! 🎯🚀

 A. FAKTÖRIYEL (!)

 1. Tanım ve Hesaplama

Tanım: n faktöriyel (n!), n'den başlayarak 1'e kadar tüm pozitif tam sayıların çarpımı.

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Özel Durum:

$$0! = 1 \text{ (tanım gereği)}$$

 2. Faktöriyel Hesaplama

Temel Değerler:

Gözlem: Faktöriyel çok hızlı büyür! (Exponential büyüme)

 3. Faktöriyel Özellikleri

Özellik 1: Rekürsif Tanım

$$n! = n \times (n-1)!$$

Örnek: 10! = 10 × 9! = 10 × 362,880 = 3,628,800

Özellik 2: Sadeleştirme

$$\frac{n!}{(n-r)!} = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1)$$

Örnek:

$$\frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 10 \times 9 = 90$$

Özellik 3: Çarpma

$$(n!)! \neq n!!$$ (Çift faktöriyel başka konsept)

 4. Çözümlü Faktöriyel Örnekleri

Örnek A.1: Faktöriyel Hesaplama (⭐)

Soru: 5! hesapla

Çözüm:

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

Cevap: 5! = 120 ✓

Örnek A.2: Sadeleştirme (⭐)

Soru: $\frac{8!}{6!}$ hesapla

Çözüm:

Adım 1: Açılım yap

$$\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

Adım 2: Ortak kısımları sadeleştir

$$= \frac{8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!}} = 8 \times 7 = 56$$

Cevap: 56 ✓

Örnek A.3: Kombinasyon Hazırlığı (⭐⭐)

Soru: $\frac{6!}{3! \times 3!}$ hesapla

Çözüm:

Adım 1: Faktöriyelleri hesapla

- 6! = 720

- 3! = 6

Adım 2: Yerine koy

$$\frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$$

Cevap: 20 ✓

Not: Bu kombinasyon formülünün ilk adımıdır!

 5. 🎯 Püf Noktaları - Faktöriyel

✓ 0! = 1 (Unutma! Sıkça tuzak)

✓ n! = n × (n-1)! (Rekürsif hesaplama)

✓ Ortak faktörü sadeleştir: $\frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8$ (açılım yapma)

✓ Büyük faktöriyel: 15! > 1 trilyon (Uygulamada nadiren işlenir)

✓ Kontrol: 3! = 6 (Emin değilsen kontrol et)

 6. YAYGIN HATALAR - Faktöriyel

 B. ÇARPMA PRENSİPİ (ÇARPMA KURALI)

 1. Tanım ve Açıklama

Tanım: Bir iş, ardışık n adımda yapılacaksa ve her adımda kᵢ farklı seçenek varsa, toplam durum sayısı:

$$\text{Toplam} = k_1 \times k_2 \times k_3 \times \cdots \times k_n$$

Koşul: Adımlar ardışıktır (birbiri ardından) ve bağımsızdır (bir adımın seçimi diğerini etkilemez).

 2. Neden Çarpma Çalışır? (Ağaç Diyagramı)

Basit Örnek: Menü = Çorba + Yemek (2 çorba, 3 yemek)

Seçim 1 (Çorba):  Ç1, Ç2

Seçim 2 (Yemek):  Y1, Y2, Y3

Kombinasyonlar:

- Ç1 → Y1, Y2, Y3 (3 seçim)

- Ç2 → Y1, Y2, Y3 (3 seçim)

Toplam = 2 × 3 = 6 kombinasyon

Genelleme:

- Adım 1: k₁ seçenek

- Her seçim sonrası Adım 2: k₂ seçenek

- Toplam ağaç dalları: k₁ × k₂

 3. Çözümlü Çarpma Prensibi Örnekleri

Örnek B.1: Menü Seçimi (⭐)

Soru: Bir kafede 3 çorba, 4 ana yemek, 2 tatlı var. Her birinden birer tane seçilecek. Kaç farklı menü oluşturulabilir?

Çözüm:

Adım 1: Sorunu kır

- Çorba seçimi: 3 seçenek

- Ana yemek seçimi: 4 seçenek

- Tatlı seçimi: 2 seçenek

Adım 2: Çarpma prensibi uygula

$$\text{Toplam menü} = 3 \times 4 \times 2 = 24$$

Cevap: 24 farklı menü ✓

Örnek B.2: Şifre Oluşturma - Tekrarlı (⭐⭐)

Soru: 4 haneli bir şifre, her hanesi bir rakam (0-9) olacak. Rakamlar tekrar edebilir. Kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Çözüm:

Adım 1: Her basamağın seçeneklerini sayılı

- 1. basamak: 10 seçenek (0-9)

- 2. basamak: 10 seçenek (0-9)

- 3. basamak: 10 seçenek (0-9)

- 4. basamak: 10 seçenek (0-9)

Adım 2: Çarpma prensibi

$$\text{Toplam şifre} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10,000$$

Cevap: 10,000 farklı şifre ✓

Not: Tekrarlı olduğu için her basamakta 10 seçenek kalmıştır!

Örnek B.3: Plaka Oluşturma - Tekrarsız (⭐⭐)

Soru: Bir plaka 2 harf ve 3 rakamdan oluşuyor. Harfler farklı olmalı (tekrarsız), rakamlar aynı olabilir (tekrarlı). Kaç farklı plaka oluşturulabilir?

Çözüm:

Adım 1: Harfleri say

- 1. harf: 26 seçenek (A-Z)

- 2. harf: 25 seçenek (biri seçildi)

- Toplam harf kombinasyon: 26 × 25 = 650

Adım 2: Rakamları say

- 1. rakam: 10 seçenek

- 2. rakam: 10 seçenek

- 3. rakam: 10 seçenek

- Toplam rakam kombinasyon: 10 × 10 × 10 = 1,000

Adım 3: Tüm plakalar

$$\text{Toplam plaka} = 650 \times 1,000 = 650,000$$

Cevap: 650,000 farklı plaka ✓

Örnek B.4: Giyim Kombinasyonu (⭐)

Soru: Bir öğrenci 3 gömlek, 2 pantolon, 2 çift ayakkabı sahibi. Kaç farklı şekilde giyinebilir?

Çözüm:

$$\text{Kombinasyon} = 3 \times 2 \times 2 = 12$$

Cevap: 12 farklı şekilde ✓

Örnek B.5: Yol Sayma (⭐⭐)

Soru: A şehrinden B şehrine 3 yol, B şehrinden C şehrine 2 yol var. A'dan C'ye kaç farklı şekilde gidilebilir?

Çözüm:

- A → B: 3 seçenek

- B → C: 2 seçenek

- Toplam: 3 × 2 = 6 yol

Cevap: 6 farklı yol ✓

 4. 🎯 Püf Noktaları - Çarpma Prensibi

✓ Ardışık adımlar → Çarpma kullan

✓ Her adım bağımsız → Biri diğerini etkilemez

✓ Tekrarlı: Seçenek sayısı sabit kalır (10⁴ = 10,000)

✓ Tekrarsız: Seçenek sayısı azalır (26 × 25, sonra 24...)

✓ "Ve" gördüğünde çarpma düşün

 5. YAYGIN HATALAR - Çarpma Prensibi

 C. TOPLAMA PRENSİPİ (TOPLAMA KURALI)

 1. Tanım ve Açıklama

Tanım: Bir iş, birbirini dışlayan n farklı yolla yapılabiliyorsa ve her yolda kᵢ seçenek varsa, toplam durum sayısı:

$$\text{Toplam} = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n$$

Koşul: Yollar birbirini dışlar (YA birisi YA diğeri, ikisi aynı anda OLAMAZ!)

 2. Neden Toplama Çalışır?

Venn Diyagramı:

Toplam: 5 + 3 = 8 (Kesişim YOK)

Mantık: Seçenekler ayrık (disjoint) olduğu için sadece topla!

 3. Çözümlü Toplama Prensibi Örnekleri

Örnek C.1: Soru Seçimi (⭐)

Soru: Bir öğrenci ya matematikten (5 soru) ya da fizikten (3 soru) bir soru çözecek. Kaç seçenek vardır?

Çözüm:

Adım 1: Seçenekleri sayılı

- Matematik: 5 seçenek

- Fizik: 3 seçenek

Adım 2: Toplama prensibi (birbirini dışladığı için)

$$\text{Toplam seçenek} = 5 + 3 = 8$$

Cevap: 8 seçenek ✓

Not: "YA... YA..." yapısı → Toplama!

Örnek C.2: Takım Seçimi (⭐)

Soru: Bir spor okulunda 4 kız öğrenci, 6 erkek öğrenci var. Bir takıma bir kız VEYA bir erkek seçilecek. Kaç seçenek vardır?

Çözüm:

- Kız seçimi: 4 seçenek

- Erkek seçimi: 6 seçenek

- Toplam (birbirini dışlayan): 4 + 6 = 10

Cevap: 10 seçenek ✓

Örnek C.3: Uçak Yolu (⭐)

Soru: İstanbul'dan İzmir'e 2 hava yolu, 3 kara yolu, 1 deniz yolu var. Kaç farklı yol seçeneği vardır?

Çözüm:

- Hava yolu: 2 seçenek

- Kara yolu: 3 seçenek

- Deniz yolu: 1 seçenek

- Toplam: 2 + 3 + 1 = 6

Cevap: 6 farklı yol ✓

 4. 🎯 Püf Noktaları - Toplama Prensibi

✓ "YA... YA..." yapısı → Toplama kullan

✓ "VEYA" gördüğünde → Toplama şüphele

✓ Birbirini dışlayan → Kesişim YOK

✓ Seçenekler ayrık → Toplama, çarpma değil

✓ Kontrol: Toplam mantıklı mı?

 5. YAYGÍN HATALAR - Toplama Prensibi

 D. ÇARPMA vs TOPLAMA - KARAR AĞACI

 Nasıl Seçersin?

 Karar Ağacı - Detaylı Örnek

Soru: Tekila içeri girilecek. Kapıdan (2 yol) veya pencereden (1 yol) girilecek. Kapıdan girilirse 3 oda seçebilir, pencereden 1 oda. Toplam kaç şekilde girilir?

Çözüm:

Seçenek 1: Kapıdan gir

- Kapı seçenekleri: 2

- Oda seçenekleri: 3

- Toplam: 2 × 3 = 6

Seçenek 2: Pencereden gir

- Pencere seçenekleri: 1

- Oda seçenekleri: 1

- Toplam: 1 × 1 = 1

Her seçenek içinde çarpma, seçenekler arası toplama:

$$\text{Toplam} = 6 + 1 = 7$$

 E. DETAYLI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER - KARIŞIK

 Örnek E.1: Plaka Problemi (⭐⭐)

Soru: Bir plakanın biçimi: 2 Harf - 3 Rakam - 1 Harf (ör: AB-123-C)

Harfler farklı olmalı, rakamlar aynı olabilir. Kaç plaka yapılabilir?

Çözüm:

Adım 1: 1. Harf: 26 seçenek

Adım 2: 2. Harf: 25 seçenek (biri seçildi)

Adım 3: 1. Rakam: 10 seçenek

Adım 4: 2. Rakam: 10 seçenek

Adım 5: 3. Rakam: 10 seçenek

Adım 6: Son Harf: 24 seçenek (önceki 2 harf seçildi)

Toplam:

$$26 \times 25 \times 10 \times 10 \times 10 \times 24 = 1,560,000,000$$

Cevap: 1.56 milyar plaka ✓

 Örnek E.2: Programlama Şifresi (⭐⭐)

Soru: Bir programda şifre 3 harf + 2 rakamdan oluşuyor.

a) Harfler farklı olmalı

b) Rakamlar aynı olabilir

Kaç şifre yapılabilir?

Çözüm:

Adım 1: Harfler (Tekrarsız)

- 1. Harf: 26

- 2. Harf: 25

- 3. Harf: 24

- Toplam: 26 × 25 × 24 = 15,600

Adım 2: Rakamlar (Tekrarlı)

- 1. Rakam: 10

- 2. Rakam: 10

- Toplam: 10 × 10 = 100

Adım 3: Birleştir (Çarpma)

$$\text{Toplam Şifre} = 15,600 \times 100 = 1,560,000$$

Cevap: 1.56 milyon şifre ✓

 Örnek E.3: Restoran Seçimi (⭐)

Soru: Bir öğrenci öğle yemeği için:

- YA Restoran A'ya gidip (Çorba: 2, Yemek: 3)

- YA Restoran B'ye gidip (Çorba: 1, Yemek: 4)

Kaç farklı menü seçeneği vardır?

Çözüm:

Restoran A:

- Çorba: 2

- Yemek: 3

- Toplam: 2 × 3 = 6

Restoran B:

- Çorba: 1

- Yemek: 4

- Toplam: 1 × 4 = 4

Toplam (Toplama - YA... YA...):

$$\text{Toplam Menü} = 6 + 4 = 10$$

Cevap: 10 farklı menü seçeneği ✓

 Örnek E.4: Bilgisayar Kodu (⭐⭐⭐)

Soru: Bilgisayar kodunda 5 karakter olacak:

- Harf (A-Z) VEYA Rakam (0-9)

- Tekrarlı

Kaç kod yapılabilir?

Çözüm:

Her karakter seçenekleri:

- Harf: 26

- Rakam: 10

- Her konum: 26 + 10 = 36 seçenek

5 Karakter (Tekrarlı):

$$\text{Toplam Kod} = 36^5 = 60,466,176$$

Cevap: ~60.5 milyon kod ✓

 Örnek E.5: Türlü Kombinasyonlu Problem (⭐⭐⭐)

Soru: Bir etkinlikte:

- Panel (Matematikçi VEYA Fizikçi): Matematikçi 3, Fizikçi 2

- Moderatör: 4 seçenek (Matematikçi/Fizikçi dışındakiler)

- Dinleyici Temsilcisi: 5 kız, 3 erkek

Kaç şekilde ekip oluşturulabilir?

Çözüm:

Panel (Toplama - VEYA):

- Matematikçi: 3

- Fizikçi: 2

- Toplam: 3 + 2 = 5

Moderatör:

- Seçenek: 4

Dinleyici Temsilcisi (Toplama - VEYA):

- Kız: 5

- Erkek: 3

- Toplam: 5 + 3 = 8

Genel Toplam (Tüm adımlar - Çarpma):

$$\text{Toplam Ekip} = 5 \times 4 \times 8 = 160$$

Cevap: 160 farklı ekip ✓

 F. SORUYA YAKLAŞIRKEN DİKKAT EDİLECEKLER

 Kontrol Listesi

✓ Adım 1: Soruda kaç adım var? (Ardışık mı?)

✓ Adım 2: Adımlar bağımsız mı yoksa birbirini dışlayan mı?

✓ Adım 3: Seçenekler tekrar edebilir mi? (Tekrarlı)

✓ Adım 4: Sıra önemli mi?

✓ Adım 5: "VE" (Çarpma) mı "VEYA" (Toplama) mı?

✓ Adım 6: Cevap mantıklı mı? (Kontrol et)

 G. 🎯 PÜF NOKTALAR - ÖZET

✓ Faktöriyel: 0! = 1, n! = n × (n-1)!

✓ Çarpma: Ardışık adımlar (VE yapısı) → k₁ × k₂

✓ Toplama: Birbirini dışlayan seçenekler (VEYA yapısı) → k₁ + k₂

✓ Tekrarlı: Seçenek sayısı sabit (10⁴)

✓ Tekrarsız: Seçenek sayısı azalır (26 × 25 × 24...)

✓ Karar Ağacı: Soruda "YA... YA..." var mı?

✓ Kontrol: Her adım mantıklı mı?

 H. YAYGIN HATALAR - TÜMÜ