3. POLİNOM EŞİTLİĞİ ve ÖZDEŞLİKLER
İki Polinomun Eşitliği
2.1.1. Özdeşlik Tanımı
Tanım:
İki polinom $P(x)$ ve $Q(x)$ için, her x değeri için eşitlik sağlanıyorsa bu iki polinom özdeştir.
Gösterim:
$$P(x) \equiv Q(x) \quad \text{veya} \quad P(x) = Q(x) \text{ (her x için)}$$
Örnek:
- $P(x) = 2x^2 + 3x - 5$
- $Q(x) = 2x^2 + 3x - 5$
⇒ $P(x) \equiv Q(x)$ (her x için eşit) ✅
2.1.2. Özdeşlik vs Denklem
Farklar:
Özellik | Özdeşlik | Denklem |
Tanım | Her x için eşit | Belirli x değerleri için eşit |
Gösterim | $P(x) \equiv Q(x)$ | $P(x) = Q(x)$ |
Çözüm Kümesi | Tüm reel sayılar | Sınırlı sayıda değer |
Örnek | $x^2 - 1 \equiv (x-1)(x+1)$ | $x^2 - 1 = 0$ (x=±1) |
Dikkat:
- "Her x için" → Özdeşlik
- "x=2 için" → Denklem
2.1.3. Polinom Eşitliği Koşulu
Teorem:
$P(x)$ ve $Q(x)$ aynı dereceden iki polinom olmak üzere,
$$P(x) \equiv Q(x) \Leftrightarrow \text{Eşit dereceli terimlerin katsayıları aynı}$$
Matematiksel İfade:
$$P(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$$
$$Q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0$$
$$P(x) \equiv Q(x) \Leftrightarrow \begin{cases}a_n = b_n \\a_{n-1} = b_{n-1} \\\vdots \\a_1 = b_1 \\a_0 = b_0\end{cases}$$
Katsayı Karşılaştırma Yöntemi
2.2.1. Temel Kural
Kural:
İki polinom özdeş ise, aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir.
Yöntem:
1. Her iki polinomu standart forma getir
2. Aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitle
3. Denklem sistemini çöz
2.2.2. Örnekler
Örnek 1: Temel Katsayı Karşılaştırma (⭐)
Soru:
$$(2a-1)x^2 + (b+3)x + (c-5) \equiv 7x^2 - 2x + 3$$
$a, b, c$ değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Terim | Sol | Sağ | Denklem |
$x^2$ | $2a-1$ | $7$ | $2a-1=7$ |
$x$ | $b+3$ | $-2$ | $b+3=-2$ |
Sabit | $c-5$ | $3$ | $c-5=3$ |
Çözümler:
- $2a = 8 \Rightarrow a = 4$
- $b = -5$
- $c = 8$
Örnek 2: Çarpım Açma (⭐⭐)
Soru:
$$(x+2)(ax+b) \equiv 3x^2 + 8x + 4$$
$a, b$ değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Sol tarafı aç
$$(x+2)(ax+b) = ax^2 + bx + 2ax + 2b$$
$$= ax^2 + (b+2a)x + 2b$$
Adım 2: Katsayı karşılaştırma
Terim | Denklem |
$x^2$ | $a = 3$ |
$x$ | $b+2a = 8$ |
Sabit | $2b = 4$ |
Adım 3: Çöz
- $a = 3$
- $2b = 4 \Rightarrow b = 2$
- Kontrol: $2 + 2(3) = 8$ ✅
Örnek 3: Denklem Sistemi (⭐⭐)
Soru:
$$(a+b)x^2 + (a-b)x + (2a+3b) \equiv 5x^2 + x + 13$$
$a, b$ değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Sistem:
$$\begin{cases}a + b = 5 \quad (1) \\a - b = 1 \quad (2) \\2a + 3b = 13 \quad (3)\end{cases}$$
Adım 1: (1) + (2)
$$2a = 6 \Rightarrow a = 3$$
Adım 2: (1)'den
$$3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$$
Adım 3: (3)'te kontrol
$$2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 \neq 13$$
Verilen özdeşliği sağlayan hiçbir 
değer çifti yoktur.
Cevap: "Böyle bir ve değeri mevcut değildir" veya "Çözüm kümesi boştur"
Özdeşliklerde Özel Durumlar
2.3.1. Derece Eşitliği
Teorem:
$$P(x) \equiv Q(x) \Rightarrow \deg(P) = \deg(Q)$$
2.3.2. Baş Katsayı Eşitliği
Teorem:
$$P(x) \equiv Q(x) \Rightarrow \text{Baş katsayıları eşit}$$
2.3.3. Sıfır Polinomu
Teorem:
$$P(x) \equiv 0 \Leftrightarrow \text{Tüm katsayılar } 0$$
Örnek:
$$(2a-6)x^2 + (b+3)x + (c-1) \equiv 0$$
$$\Rightarrow a=3, \, b=-3, \, c=1$$
2.3.4. Kesirli Polinom Eşitliği
Kural:
$$\frac{P(x)}{H(x)} = \frac{Q(x)}{H(x)} \quad (H(x) \neq 0)$$
$$\Rightarrow P(x) = Q(x)$$
Sık Yapılan Hatalar
❌ Hata | ✅ Doğru |
Bir x için eşit → özdeşlik | Her x için eşit → özdeşlik |
Dereceleri kontrol etmeden | Önce $\deg(P) = \deg(Q)$ kontrol et |
Paydayı sadeleştirmeden | $H(x) \neq 0$ şartını kontrol et |
Sıfır polinomu: bazı katsayı 0 | Tüm katsayılar 0 olmalı |
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!