PERİYODİK OLAYLARIN TANIMI

 Periyodik Olay Kavramı

Tanım: Belirli zaman aralıklarında düzenli olarak tekrar eden olaylara periyodik olaylar denir.

Periyot: Bir olayın kendini tekrar etme süresi

Faz: Olayın döngü içindeki konumu

Senkronizasyon: İki veya daha fazla periyodik olayın aynı anda gerçekleşmesi

 PERİYODİK OLAY TÜRLERİ

1. Zaman Bazlı Periyodiklik

Günlük Döngüler

- Saat: 24 saatlik döngü

- Öğün zamanları: Kahvaltı, öğle, akşam yemeği

- Mesai saatleri: 8 saatlik çalışma periyodu

 Haftalık Döngüler

- Haftanın günleri: 7 günlük periyot

- İş-tatil döngüsü: 5 iş günü + 2 tatil günü

 Aylık/Yıllık Döngüler

- Ay döngüsü: 28-31 günlük periyot

- Mevsimler: 3 aylık periyotlar

- Yıl: 12 aylık/365 günlük periyot

 2. Ulaşım Sistemleri

 Otobüs/Metro Sefer Saatleri

- Sabit periyot: Her 10 dakikada bir

- Değişken periyot: Sabah-akşam farklı aralıklar

 Trafik Işıkları

- Üçlü döngü: Kırmızı-Sarı-Yeşil

- Senkronize kavşaklar: Koordineli döngüler

 3. Doğal Olaylar

 Gök Cisimleri

- Ay'ın evreleri: 29.5 günlük döngü

- Gelgit: 12.5 saatlik döngü

- Mevsim değişimi: 365.25 günlük döngü

 Biyolojik Ritmler

- Kalp atışı: Saniyede 1-2 atış

- Nefes alma: Dakikada 12-20 nefes

- Sirkadiyen ritim: 24 saatlik biyolojik saat

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Otobüs Seferleri

Soru: A terminali otobüsü her 15 dakikada, B terminali otobüsü her 20 dakikada bir kalkıyor. Saat 08:00'de her ikisi de kalktı. Saat kaçta tekrar aynı anda kalkacaklar?

Çözüm:

İki otobüsün aynı anda kalkma periyodu = $\text{EKOK}(15, 20)$

$15 = 3 \times 5$

$20 = 2^2 \times 5$

$\text{EKOK}(15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$ dakika = 1 saat

Sonuç: 09:00'da tekrar aynı anda kalkacaklar.

 Genişletilmiş Çözüm:

İlk 3 saat içindeki kalkış zamanları:

 Örnek 2: Trafik Işığı Senkronizasyonu

Soru: Bir kavşakta kırmızı ışık 30 sn, yeşil ışık 45 sn yanıyor. Şu anda kırmızı ışık yeni başladı. Kaç saniye sonra tekrar kırmızı ışık başlayacak?

Çözüm:

Bir tam döngü süresi = Kırmızı + Yeşil = 30 + 45 = 75 saniye

Sonuç: 75 saniye sonra tekrar kırmızı ışık başlayacak.

 Örnek 3: Çoklu Periyot Problemi

Soru: Ali her 6 günde bir, Veli her 8 günde bir, Can her 10 günde bir spor salonuna gidiyor. Bugün üçü de gittiler. Kaç gün sonra tekrar üçü de aynı gün gidecekler?

Çözüm:

Üçünün de aynı gün gitme periyodu = $\text{EKOK}(6, 8, 10)$

$6 = 2 \times 3$

$8 = 2^3$ 

$10 = 2 \times 5$

$\text{EKOK}(6, 8, 10) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120$ gün

Sonuç: 120 gün sonra tekrar üçü de aynı gün gidecekler.

Örnek 4: Vardiya Sistemi

Soru: Bir fabrikada 3 vardiya sistemi var: A vardiyası 8 saat, B vardiyası 12 saat, C vardiyası 24 saat çalışıyor. Pazartesi 00:00'da üçü de başladılar. Hangi gün tekrar aynı anda başlayacaklar?

Çözüm:

Ortak başlangıç periyodu = $\text{EKOK}(8, 12, 24) = 24$ saat = 1 gün

Sonuç: Her gün aynı saatte başlayacaklar (Salı 00:00).

Örnek 5: Takvim Problemi

Soru: 1 Ocak 2024 Pazartesi günüdür. Aynı tarih hangi yıl tekrar Pazartesi günü olacak? (Artık yılları hesaba katınız)

Çözüm:

Normal yıl = 365 gün = 52 hafta + 1 gün (haftanın günü 1 gün ilerler)

Artık yıl = 366 gün = 52 hafta + 2 gün (haftanın günü 2 gün ilerler)

Haftanın günü 7'nin katı kadar ilerlediğinde aynı güne denk gelir.

2024 artık yıl → 2 gün ilerler → 1 Ocak 2025 Çarşamba

2025 normal yıl → 1 gün ilerler → 1 Ocak 2026 Perşembe 

2026 normal yıl → 1 gün ilerler → 1 Ocak 2027 Cuma

2027 normal yıl → 1 gün ilerler → 1 Ocak 2028 Cumartesi

2028 artık yıl → 2 gün ilerler → 1 Ocak 2029 Pazartesi

Sonuç: 2029 yılında tekrar Pazartesi olacak.

GERÇEK HAYAT UYGULAMALARI

 Ulaşım Planlaması

 Örnek 7: Aktarma Optimizasyonu

Soru: Metro her 5 dakikada, otobüs her 12 dakikada bir geliyor. En az bekleme süresi için hangi zamanlarda aktarma yapmalı?

Çözüm:

Ortak gelme zamanları = $\text{EKOK}(5, 12) = 60$ dakika aralıklarla

0, 60, 120, ... dakikalarda her ikisi de gelir.

Optimum aktarma zamanları: Saatin başında (xx:00)

Çalışma Programları

Örnek 8: Vardiya Planlaması

Soru: 4 işçi sırasıyla 6, 8, 9, 12 günde bir izin kullanıyor. Bugün hepsi çalışıyor. En erken hangi gün hepsi aynı anda izinli olabilir?

Çözüm:

$\text{EKOK}(6, 8, 9, 12)$ hesaplayalım:

$6 = 2 \times 3$

$8 = 2^3$

$9 = 3^2$ 

$12 = 2^2 \times 3$

$\text{EKOK}(6, 8, 9, 12) = 2^3 \times 3^2 = 72$ gün

Sonuç: 72 gün sonra hepsi aynı anda izinli olabilir.

 PROBLEMLERİ ÇÖZME STRATEJİLERİ

 🎯 Strateji 1: Periyot Belirleme

1. Her olayın periyodunu belirle

2. Ortak periyot için EKOK hesapla

3. Başlangıç zamanını dikkate al

 🎯 Strateji 2: Zaman Birimi Standardizasyonu 

Tüm süreleri aynı birimde (dakika, saat, gün) ifade et

 🎯 Strateji 3: Görselleştirme

Zaman çizelgesi çizerek periyotları görselleştir

 🎯 Strateji 4: Kontrol ve Doğrulama

Bulunan sonucun mantıklı olup olmadığını kontrol et

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Faz Farkı

Olaylar aynı anda başlamayabilir. Faz farkını hesaba kat.

 🎯 Püf Nokta 2: Artık Yıl Etkisi

Takvim problemlerinde artık yılları unutma.

 🎯 Püf Nokta 3: Gerçek Hayat Kısıtları

Matematiksel sonucu gerçek hayat koşullarıyla kontrol et.

 🎯 Püf Nokta 4: Yaklaşık Değerler

Doğal olaylarda tam periyot olmayabilir (ay döngüsü 29.5 gün gibi).

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Birim Karışıklığı

Yanlış: Farklı zaman birimlerini karıştırmak

Doğru: Tüm süreleri aynı birimde ifade etmek

 ❌ Hata 2: Başlangıç Zamanı İhmali

Yanlış: Olayların başlangıç zamanlarını görmezden gelmek

Doğru: Faz farklarını hesaba katmak

 ❌ Hata 3: EBOB-EKOK Karışıklığı

Yanlış: Buluşma problemlerinde EBOB kullanmak

Doğru: Ortak olma zamanları için EKOK kullanmak

EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

Örnek 9: Karmaşık Senkronizasyon

Soru: Bir şirkette A departmanı her 15 günde, B departmanı her 18 günde, C departmanı her 20 günde toplantı yapıyor. Bu ay başında (1'inde) üçü de toplantı yaptı. Bu yıl içinde kaç kez daha aynı gün toplantı yapacaklar?

Çözüm:

Ortak toplantı periyodu = $\text{EKOK}(15, 18, 20)$

$15 = 3 \times 5$

$18 = 2 \times 3^2$

$20 = 2^2 \times 5$

$\text{EKOK}(15, 18, 20) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$ gün

180 gün ≈ 6 ay olduğundan, yıl içinde 1 kez daha (6 ay sonra) aynı gün toplantı yapacaklar.

Örnek 10: Biyolojik Ritim

Soru: Kalp dakikada 72 atım, akciğer dakikada 16 nefes alıyor. Kaç saniyede bir kalp atışı ile nefes alma aynı anda olur?

Çözüm:

Kalp atış periyodu = $\frac{60}{72} = \frac{5}{6}$ saniye

Nefes alma periyodu = $\frac{60}{16} = \frac{15}{4}$ saniye

$\text{EKOK}\left(\frac{5}{6}, \frac{15}{4}\right) = \frac{\text{EKOK}(5, 15)}{\text{EBOB}(6, 4)} = \frac{15}{2} = 7.5$ saniye

Sonuç: 7.5 saniyede bir aynı anda olur.