2. BİLEŞİK ÖNERMELER, DE MORGAN, DENKLİK
TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM
Bileşik Önerme Nedir?
İki veya daha fazla basit önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşan önermelere denir.
Örnekler:
- p ∧ q (p VE q)
- p ∨ q (p VEYA q)
- (p → q) ∧ r (Karmaşık yapı)
DE MORGAN KURALLARI
Kural 1: VE'nin Olumsuzlanması
Formül:
$$\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$$
"p ve q'nin değili = p'nin değili veya q'nin değili"
Doğruluk Tablosu:
p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q |
D | D | D | Y | Y | Y | Y |
D | Y | Y | D | Y | D | D |
Y | D | Y | D | D | Y | D |
Y | Y | Y | D | D | D | D |
✓ Kontrol: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨¬q (aynı sütunlar) ✅
Örnek 1: De Morgan Kural 1 - Temel (⭐)
Soru: "Ali akıllı VE çalışkan" cümlesinin olumsuz hali nedir?
Çözüm:
- p: "Ali akıllı"
- q: "Ali çalışkan"
- p ∧ q: "Ali akıllı ve çalışkan"
- ¬(p ∧ q): "Ali akıllı değil VEYA çalışkan değil" ✓
Formül: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
🎯 Püf Noktası: VE'nin olumsuzlanması = VEYA olur. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
Kural 2: VEYA'nın Olumsuzlanması
Formül:
$$\neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q$$
"p veya q'nin değili = p'nin değili ve q'nin değili"
Doğruluk Tablosu:
p | q | p ∨ q | ¬(p ∨ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∧ ¬q |
D | D | D | Y | Y | Y | Y |
D | Y | D | Y | Y | D | Y |
Y | D | D | Y | D | Y | Y |
Y | Y | Y | D | D | D | D |
✓ Kontrol: ¬(p ∨ q) = ¬p ∧¬q (aynı sütunlar) ✅
Örnek 2: De Morgan Kural 2 - Temel (⭐)
Soru: "Ahmet doktor VEYA mühendis" cümlesinin olumsuz hali nedir?
Çözüm:
- p: "Ahmet doktor"
- q: "Ahmet mühendis"
- p ∨ q: "Ahmet doktor veya mühendis"
- ¬(p ∨ q): "Ahmet doktor DEĞİL VE mühendis DEĞİL" ✓
Formül: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
🎯 Püf Noktası: VEYA'nın olumsuzlanması = VE olur. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Örnek 3: De Morgan Uygulaması - Orta (⭐⭐)
Soru: ¬[(p ∧ q) ∨ r] formülünün eşiti nedir?
Çözüm:
- ¬[(p ∧ q) ∨ r]
- De Morgan Kural 2 uygula: ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
- ¬(p ∧ q) ∧ ¬r
- De Morgan Kural 1 uygula: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
- (¬p ∨ ¬q) ∧¬r ✓
Denklik: ¬[(p ∧ q) ∨ r] ≡ (¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r
🎯 Püf Noktası: De Morgan kurallarını ardı ardına uygula. Her katmanda bir kural var.
DENKLİK (≡)
Denklik Nedir?
İki önerme aynı doğruluk değerlerine sahipse denktir (≡).
Örnekler:
- p ≡ p (kendine denk)
- ¬(¬p) ≡ p (çift negasyon)
- p ∧ q ≡ q ∧ p (değişme kuralı)
Örnek 4: İSE'nin Değiştirilmesi - Temel (⭐)
Önemli Formül:
$$p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q$$
"p ise q" = "p değil veya q"
Doğruluk Tablosu:
p | q | p → q | ¬p | ¬p ∨ q |
D | D | D | Y | D |
D | Y | Y | Y | Y |
Y | D | D | D | D |
Y | Y | D | D | D |
✓ Kontrol: p → q = ¬p ∨ q (aynı sütunlar) ✅
Örnek 5: İSE'nin Karşıt Tersi - Orta (⭐⭐)
Önemli Formül:
$$p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p$$
"p ise q" = "q değil ise p değil"
Soru: "Eğer yağmur yağarsa, yer ıslak olur" cümlesinin karşıt tersi nedir?
Çözüm:
- p: "Yağmur yağar"
- q: "Yer ıslak olur"
- p → q: "Yağmur yağarsa, yer ıslak olur"
- ¬q → ¬p: "Yer ıslak DEĞİLSE, yağmur yağmamıştır" ✓
Denklik: p → q ≡ ¬q → ¬p
✓ Kontrol: İkisi aynı anlama gelir.
🎯 Püf Noktası: İSE cümlelerini çevirmek zorluksa, karşıt tersini kullan.
Örnek 6: Denklik Kontrolü - Orta (⭐⭐)
Soru: (p → q) ≡ (¬p ∨ q) midir? Doğruluk tablosundan kontrol et.
Doğruluk Tablosu:
p | q | p → q | ¬p | ¬p ∨ q |
D | D | D | Y | D |
D | Y | Y | Y | Y |
Y | D | D | D | D |
Y | Y | D | D | D |
✓ Sonuç: Aynı sütunlar = Evet, denktir! ✅
🎯 Püf Noktası: Denklik kontrol = aynı satırlarda aynı değer mi diye bak.
TUTOLOJİ VE ÇELİŞKİ
Tutoloji (Tautology)
Doğruluk tablosunda her satırda D olan önerme.
Örnek Tutoloji: p ∨ ¬p
Doğruluk Tablosu:
p | ¬p | p ∨ ¬p |
D | Y | D |
Y | D | D |
✓ Sonuç: Her zaman D = Tutoloji!
Çelişki (Contradiction)
Doğruluk tablosunda her satırda Y olan önerme.
Örnek Çelişki: p ∧ ¬p
Doğruluk Tablosu:
p | ¬p | p ∧ ¬p |
D | Y | Y |
Y | D | Y |
✓ Sonuç: Her zaman Y = Çelişki!
Örnek 7: Tutoloji Tanıma - Orta (⭐⭐)
Soru: (p → q) ∨ (q → p) tutoloji midir?
Doğruluk Tablosu:
p | q | p → q | q → p | (p → q) ∨ (q → p) |
D | D | D | D | D |
D | Y | Y | D | D |
Y | D | D | Y | D |
Y | Y | D | D | D |
✓ Sonuç: Her satırda D = Evet, tutoloji!
🎯 Püf Noktası: Tutoloji = her zaman doğru. "Hava yağmurlu VEYA yağmurlu değil" gibi.
Örnek 8: Çelişki Tanıma - Orta (⭐⭐)
Soru: p ∧ (¬p ∨ q) ∧¬q formülü çelişki midir?
Doğruluk Tablosu:
p | q | ¬p | ¬p ∨ q | ¬q | p ∧ (¬p ∨ q) | p ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬q |
D | D | Y | D | Y | D | Y |
D | Y | Y | Y | D | D | D |
Y | D | D | D | Y | Y | Y |
Y | Y | D | Y | D | Y | Y |
✗ Sonuç: Her satırda Y değil = Çelişki DEĞİL
🎯 Püf Noktası: Çelişki çok nadir. Tablo hazırlarken hata çoğunlukla buradan gelir.
ZOR SEVİYE (⭐⭐⭐)
Örnek 9: Karmaşık De Morgan + Denklik - Zor (⭐⭐⭐)
Soru: ¬[(p → q) ∧ (q → r)] formülü neye denktir?
Çözüm Adımları:
1️. Dış Negasyonu Uygula (De Morgan):
- ¬[(p → q) ∧ (q → r)]
- ¬(p → q) ∨ ¬(q → r)
2️. İSE'nin Olumsuzlanması:
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- ¬(q → r) ≡ q ∧ ¬r
3️. Sonuç:
- (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ✓
Denklik: ¬[(p → q) ∧ (q → r)] ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r)
🎯 Püf Noktası: Katman katman açılır. Dıştan içe doğru git.
Örnek 10: Tutoloji Kanıtlama - Zor (⭐⭐⭐)
Soru: [(p ∧ q) → r] ≡ [p → (q → r)] midir? (Curry-Howard)
Doğruluk Tablosu (8 satır):
p | q | r | p ∧ q | (p ∧ q) → r | q → r | p → (q → r) |
D | D | D | D | D | D | D |
D | D | Y | D | Y | Y | Y |
D | Y | D | Y | D | D | D |
D | Y | Y | Y | D | D | D |
Y | D | D | Y | D | D | D |
Y | D | Y | Y | D | Y | D |
Y | Y | D | Y | D | D | D |
Y | Y | Y | Y | D | D | D |
✓ Kontrol: Aynı sütunlar = Evet, denktir!
💡 Anlamı: İçiçe İSE bağlaçları dağıtılabilir.
🎯 Püf Noktası: 8 satır tablo çözmek uzun ama TYT'de nadir. Bol pratik yap!
YAYGNı HATALAR
Hata | Düzeltme |
H1: De Morgan'ı ters uygulamak | VE'nin değili = VEYA, VEYA'nın değili = VE |
H2: İSE'nin olumsuzlanmasını yanlış yapmak | ¬(p→q) ≡ p ∧ ¬q (p→q değil!) |
H3: Karşıt tersi karşıt ile karıştırmak | Karşıt: q→p, Karşıt Tersi: ¬q→¬p |
H4: Tutoloji = her zaman D'yi unutmak | Tutoloji tüm satırlarda D, Çelişki tüm satırlarda Y |
H5: Katman katman açılmazken formülü yanlış çözmek | Dıştan içe git. Her parantezi ayrı hesapla |
PÜF NOKTALAR (⚡)
✓ De Morgan 1: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (VE'nin değili = VEYA)
✓ De Morgan 2: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q (VEYA'nın değili = VE)
✓ İSE Denkliği: p → q ≡ ¬p ∨ q
✓ İSE Olumsuzlanması: ¬(p → q) ≡ p ∧¬q
✓ İSE Karşıt Tersi: p → q ≡ ¬q → ¬p
✓ Tutoloji: Her satırda D (örn: p ∨¬p)
✓ Çelişki: Her satırda Y (örn: p ∧¬p)
✓ Denklik Kontrolü: Aynı satırlarda aynı değer mi?
✓ Katman Açılması: Dıştan içe git, De Morgan + İSE kuralları uygula
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!