TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

 Bileşik Önerme Nedir?

İki veya daha fazla basit önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşan önermelere denir.

Örnekler:

- p ∧ q (p VE q)

- p ∨ q (p VEYA q)

- (p → q) ∧ r (Karmaşık yapı)

 DE MORGAN KURALLARI

 Kural 1: VE'nin Olumsuzlanması

Formül:

$$\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$$

"p ve q'nin değili = p'nin değili veya q'nin değili"

Doğruluk Tablosu:

✓ Kontrol: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨¬q (aynı sütunlar) ✅

 Örnek 1: De Morgan Kural 1 - Temel (⭐)

Soru: "Ali akıllı VE çalışkan" cümlesinin olumsuz hali nedir?

Çözüm:

- p: "Ali akıllı"

- q: "Ali çalışkan"

- p ∧ q: "Ali akıllı ve çalışkan"

- ¬(p ∧ q): "Ali akıllı değil VEYA çalışkan değil" ✓

Formül: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

🎯 Püf Noktası: VE'nin olumsuzlanması = VEYA olur. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

 Kural 2: VEYA'nın Olumsuzlanması

Formül:

$$\neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q$$

"p veya q'nin değili = p'nin değili ve q'nin değili"

Doğruluk Tablosu:

✓ Kontrol: ¬(p ∨ q) = ¬p ∧¬q (aynı sütunlar) ✅

 Örnek 2: De Morgan Kural 2 - Temel (⭐)

Soru: "Ahmet doktor VEYA mühendis" cümlesinin olumsuz hali nedir?

Çözüm:

- p: "Ahmet doktor"

- q: "Ahmet mühendis"

- p ∨ q: "Ahmet doktor veya mühendis"

- ¬(p ∨ q): "Ahmet doktor DEĞİL VE mühendis DEĞİL" ✓

Formül: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

🎯 Püf Noktası: VEYA'nın olumsuzlanması = VE olur. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

 Örnek 3: De Morgan Uygulaması - Orta (⭐⭐)

Soru: ¬[(p ∧ q) ∨ r] formülünün eşiti nedir?

Çözüm:

- ¬[(p ∧ q) ∨ r]

- De Morgan Kural 2 uygula: ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

- ¬(p ∧ q) ∧ ¬r

- De Morgan Kural 1 uygula: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

- (¬p ∨ ¬q) ∧¬r ✓

Denklik: ¬[(p ∧ q) ∨ r] ≡ (¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r

🎯 Püf Noktası: De Morgan kurallarını ardı ardına uygula. Her katmanda bir kural var.

 DENKLİK (≡)

 Denklik Nedir?

İki önerme aynı doğruluk değerlerine sahipse denktir (≡).

Örnekler:

- p ≡ p (kendine denk)

- ¬(¬p) ≡ p (çift negasyon)

- p ∧ q ≡ q ∧ p (değişme kuralı)

 Örnek 4: İSE'nin Değiştirilmesi - Temel (⭐)

Önemli Formül:

$$p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q$$

"p ise q" = "p değil veya q"

Doğruluk Tablosu:

✓ Kontrol: p → q = ¬p ∨ q (aynı sütunlar) ✅

 Örnek 5: İSE'nin Karşıt Tersi - Orta (⭐⭐)

Önemli Formül:

$$p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p$$

"p ise q" = "q değil ise p değil"

Soru: "Eğer yağmur yağarsa, yer ıslak olur" cümlesinin karşıt tersi nedir?

Çözüm:

- p: "Yağmur yağar"

- q: "Yer ıslak olur"

- p → q: "Yağmur yağarsa, yer ıslak olur"

- ¬q → ¬p: "Yer ıslak DEĞİLSE, yağmur yağmamıştır" ✓

Denklik: p → q ≡ ¬q → ¬p

✓ Kontrol: İkisi aynı anlama gelir.

🎯 Püf Noktası: İSE cümlelerini çevirmek zorluksa, karşıt tersini kullan.

 Örnek 6: Denklik Kontrolü - Orta (⭐⭐)

Soru: (p → q) ≡ (¬p ∨ q) midir? Doğruluk tablosundan kontrol et.

Doğruluk Tablosu:

✓ Sonuç: Aynı sütunlar = Evet, denktir! ✅

🎯 Püf Noktası: Denklik kontrol = aynı satırlarda aynı değer mi diye bak.

 TUTOLOJİ VE ÇELİŞKİ

 Tutoloji (Tautology)

Doğruluk tablosunda her satırda D olan önerme.

Örnek Tutoloji: p ∨ ¬p

Doğruluk Tablosu:

✓ Sonuç: Her zaman D = Tutoloji!

 Çelişki (Contradiction)

Doğruluk tablosunda her satırda Y olan önerme.

Örnek Çelişki: p ∧ ¬p

Doğruluk Tablosu:

✓ Sonuç: Her zaman Y = Çelişki!

 Örnek 7: Tutoloji Tanıma - Orta (⭐⭐)

Soru: (p → q) ∨ (q → p) tutoloji midir?

Doğruluk Tablosu:

| p | q | p → q | q → p | (p → q) ∨ (q → p) |

|||-|-|-|

| D | D | D | D | D |

| D | Y | Y | D | D |

| Y | D | D | Y | D |

| Y | Y | D | D | D |

✓ Sonuç: Her satırda D = Evet, tutoloji!

🎯 Püf Noktası: Tutoloji = her zaman doğru. "Hava yağmurlu VEYA yağmurlu değil" gibi.

 Örnek 8: Çelişki Tanıma - Orta (⭐⭐)

Soru: p ∧ (¬p ∨ q) ∧¬q formülü çelişki midir?

Doğruluk Tablosu:

✗ Sonuç: Her satırda Y değil = Çelişki DEĞİL

🎯 Püf Noktası: Çelişki çok nadir. Tablo hazırlarken hata çoğunlukla buradan gelir.

 ZOR SEVİYE (⭐⭐⭐)

 Örnek 9: Karmaşık De Morgan + Denklik - Zor (⭐⭐⭐)

Soru: ¬[(p → q) ∧ (q → r)] formülü neye denktir?

Çözüm Adımları:

1️⃣ Dış Negasyonu Uygula (De Morgan):

   - ¬[(p → q) ∧ (q → r)]

   - ¬(p → q) ∨ ¬(q → r)

2️⃣ İSE'nin Olumsuzlanması:

   - ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

   - ¬(q → r) ≡ q ∧ ¬r

3️⃣ Sonuç:

   - (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ✓

Denklik: ¬[(p → q) ∧ (q → r)] ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r)

🎯 Püf Noktası: Katman katman açılır. Dıştan içe doğru git.

 Örnek 10: Tutoloji Kanıtlama - Zor (⭐⭐⭐)

Soru: [(p ∧ q) → r] ≡ [p → (q → r)] midir? (Curry-Howard)

Doğruluk Tablosu (8 satır):

✓ Kontrol: Aynı sütunlar = Evet, denktir!

💡 Anlamı: İçiçe İSE bağlaçları dağıtılabilir.

🎯 Püf Noktası: 8 satır tablo çözmek uzun ama TYT'de nadir. Bol pratik yap!

 TEST - 10 SORU

 TEMEL (⭐)

S1: ¬(p ∧ q) neye denktir?

- A) p ∧ q  B) ¬p ∨ ¬q  C) p ∨ q  D) ¬p ∧¬q  E) p → q

S2: ¬(p ∨ q) neye denktir?

- A) p ∨ q  B) ¬p ∨ ¬q  C) ¬p ∧ ¬q  D) p ∧ q  E) p → q

S3: "Ali doktor VE mühendis" cümlesinin olumsuz hali?

- A) Ali doktor ve mühendis değil

- B) Ali doktor değil veya mühendis değil

- C) Ali doktor veya mühendis

- D) Ali doktor değil ve mühendis değil

- E) Ali doktor değilse mühendistir

S4: p → q neye denktir?

- A) q → p  B) ¬q → ¬p  C) ¬p ∨ q  D) p ∨ q  E) p ∧ q

S5: p ∨ ¬p hangi türdür?

- A) Çelişki  B) Tutoloji  C) Belirsiz  D) Denklik  E) İmkansız

 ORTA (⭐⭐)

S6: ¬[(p ∧ q) ∨ r] neye denktir?

- A) (¬p ∨ ¬q) ∧¬r

- B) (¬p ∧ ¬q) ∨¬r

- C) (¬p ∨ ¬q) ∨¬r

- D) (p ∧ q) ∧ r

- E) (¬p ∧ ¬q) ∧¬r

S7: (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) hangisidir?

- A) Çelişki  B) Tutoloji  C) Belirsiz  D) İmkansız  E) Denklik

S8: "Eğer yağmur yağarsa, yer ıslak olur" cümlesinin karşıt tersi?

- A) Yağmur yağar, yer ıslaktır

- B) Yer ıslak değilse, yağmur yağmamıştır

- C) Yer ıslaksa, yağmur yağmıştır

- D) Yağmur yağmazsa, yer kuru olur

- E) Yer ıslak değildir

 ZOR (⭐⭐⭐)

S9: ¬[(p → q) ∧ (q → r)] neye denktir?

- A) (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧¬r)

- B) (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)

- C) (p ∧ q) ∨ (q ∧ r)

- D) (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬q ∧ ¬r)

- E) p → (q → r)

S10: [(p ∧ q) → r] ≡ [p → (q → r)] ise aşağıdakilerden hangisi tutoloji?

- A) p ∧ q → r

- B) (p ∧ q → r) → (p → (q → r))

- C) p ∧ q

- D) p ∨ r

- E) q ↔ r

 CEVAP ANAHTARI

| S | Cevap | Çözüm |

||-|-|

| 1 | B) ¬p ∨ ¬q | De Morgan Kural 1: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q |

| 2 | C) ¬p ∧ ¬q | De Morgan Kural 2: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q |

| 3 | B) Ali doktor değil veya mühendis değil | De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨¬q |

| 4 | C) ¬p ∨ q | İSE Denkliği: p → q ≡ ¬p ∨ q |

| 5 | B) Tutoloji | p ∨ ¬p her zaman D |

| 6 | A) (¬p ∨ ¬q) ∧¬r | 

     Adım 1: De Morgan 2: ¬[(p∧q)∨r] = ¬(p∧q) ∧ ¬r

     Adım 2: De Morgan 1: ¬(p∧q) = (¬p ∨ ¬q)

     Sonuç: (¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r ✓ |

| 7 | B) Tutoloji | Geçişme kanunu (transitive): (p→q)∧(q→r)→(p→r) her zaman D |

| 8 | B) Yer ıslak değilse, yağmur yağmamıştır | İSE Karşıt Tersi: p→q ≡ ¬q→¬p |

| 9 | A) (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧¬r) | 

     1️⃣ De Morgan: ¬[(p→q)∧(q→r)] = ¬(p→q) ∨¬(q→r)

     2️⃣ İSE Olumsuzlanması: ¬(p→q)≡p∧¬q, ¬(q→r)≡q∧¬r

     3️⃣ Sonuç: (p ∧¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ✓ |

| 10 | B) (p∧q→r)→(p→(q→r)) | Curry-Howard totolojidir |

 YAYGÍN HATALAR

 PÜF NOKTALAR (⚡)

✓ De Morgan 1: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (VE'nin değili = VEYA)

✓ De Morgan 2: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q (VEYA'nın değili = VE)

✓ İSE Denkliği: p → q ≡ ¬p ∨ q

✓ İSE Olumsuzlanması: ¬(p → q) ≡ p ∧¬q

✓ İSE Karşıt Tersi: p → q ≡ ¬q → ¬p

✓ Tutoloji: Her satırda D (örn: p ∨¬p)

✓ Çelişki: Her satırda Y (örn: p ∧¬p)

✓ Denklik Kontrolü: Aynı satırlarda aynı değer mi?

✓ Katman Açılması: Dıştan içe git, De Morgan + İSE kuralları uygula

 TYT STRATEJİSİ

⏱️ Zaman: Soru başına max 3 dakika

🎯 Hızlı Çözüm: De Morgan tablolarını ezberlersen 1 dakikada çözersin

✅ Denklik Sorularında: Tabloya gidebilirsin (ama formüllerle hızlı)

🚫 Tuzak: "Tutoloji midir?" sorusunda tüm satırları kontrol et

📝 İpucu: İSE sorusuna gelmişse, p→q ≡ ¬p∨q formülünü dene