TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

Küme problemleri, gerçek hayat durumlarında veri analizi ve lojik çıkarım gerektiren sorulardır. Genellikle:

- Venn diyagramı

- Tablo yöntemi

- Formüller

kullanılarak çözülür. Amaç, verilen bilgilerle kümeler arasındaki ilişkileri bulmak ve istenen sayıları hesaplamaktır.

 SORUYA YAKLAŞIM STRATEJİLERİ

1. Verilenleri dikkatlice oku → Hangi kümeler, hangi kesişimler, toplam kaç?

2. Venn diyagramı veya tablo çiz → Bölgeleri netleştir

3. Her bölgeye değişken ata veya doğrudan sayıları yerleştir

4. Denklemi kur → Verilenleri formüle dök

5. Denklemi çöz → İsteneni bul

6. Kontrol et → Negatif/mantıksız değer varsa adımları gözden geçir

 TEMEL FORMÜLLER - HIZLI REFERANS

 İKİ KÜMELİ PROBLEMLER

 Venn Diyagramı Şablonu

Bölgeler:

- Sadece A = n(A) - n(A ∩ B)

- A ∩ B = Ortak bölge

- Sadece B = n(B) - n(A ∩ B)

- Hiçbirinde = n(E) - n(A ∪ B)

 TEMEL SEVİYE (⭐)

 Örnek 1: İki Küme - Basit Problem (⭐)

Soru: Bir sınıfta 30 öğrenci vardır. 18'i matematik, 12'si fizik dersi alıyor. 5 öğrenci her iki dersi de alıyor. Hiçbirini almayan kaç öğrenci vardır?

Çözüm:

Adım 1: Verilenleri belirle

- n(E) = 30 (toplam öğrenci)

- n(M) = 18 (matematik)

- n(F) = 12 (fizik)

- n(M ∩ F) = 5 (her ikisini)

Adım 2: Venn Diyagramı çiz

Adım 3: Bölgeleri hesapla

- Sadece matematik = n(M) - n(M ∩ F) = 18 - 5 = 13

- Her iki dersi alan = 5

- Sadece fizik = n(F) - n(M ∩ F) = 12 - 5 = 7

Adım 4: En az birini alanları topla

- n(M ∪ F) = 13 + 5 + 7 = 25

Adım 5: Hiçbirini almayanları bul

- Hiçbirini almayan = n(E) - n(M ∪ F) = 30 - 25 = 5

✓ Kontrol:

- Toplamı kontrol: 13 + 5 + 7 + 5 = 30 ✓

- n(M) = 13 + 5 = 18 ✓

- n(F) = 5 + 7 = 12 ✓

- n(M ∩ F) = 5 ✓

Cevap: 5 öğrenci hiçbirini almamaktadır ⭐

🎯 Püf Noktası: İki küme problemlerinde:

1. Kesişimi ortaya yaz

2. Sadece bölgeleri hesapla (küme eksi kesişim)

3. Tümünü topla ve evrensel'den çıkar

 Örnek 2: Sadece Bir Bölge Bulma (⭐)

Soru: 

- n(A) = 20

- n(B) = 15

- n(A ∩ B) = 8

- n(E) = 40

Sadece A'da olan kaç eleman vardır?

Çözüm:

Sadece A = n(A) - n(A ∩ B)

$$\text{Sadece A} = 20 - 8 = 12$$

✓ Kontrol:

- Sadece A'da 12 eleman

- A ∩ B'de 8 eleman

- Toplamda A'da = 12 + 8 = 20 ✓

Cevap: 12 eleman ⭐

🎯 Püf Noktası: Sadece bir kümeye ait olanları bulmak = küme eksi kesişim

 ORTA SEVİYE (⭐⭐)

 Örnek 3: Formül Kullanarak Kesişim Bulma (⭐⭐)

Soru: 

- n(A) = 20

- n(B) = 15

- n(A ∪ B) = 28

- n(E) = 40

n(A ∩ B) ve hiçbirinde olan kaç?

Çözüm:

Adım 1: Birleşim formülünü kullan

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

$$28 = 20 + 15 - n(A \cap B)$$

$$28 = 35 - n(A \cap B)$$

$$n(A \cap B) = 35 - 28 = 7$$

Adım 2: Hiçbirinde olanları bul

$$\text{Hiçbirinde} = n(E) - n(A \cup B) = 40 - 28 = 12$$

✓ Kontrol:

- Sadece A = 20 - 7 = 13

- A ∩ B = 7

- Sadece B = 15 - 7 = 8

- Toplamda: 13 + 7 + 8 + 12 = 40 ✓

Cevap: n(A ∩ B) = 7, Hiçbirinde = 12 ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Birleşim formülünü ters çalıştırarak kesişimi bulabilirsin

 Örnek 4: Tablo Yöntemiyle Çözüm (⭐⭐)

Soru: Bir kütüphanede:

- n(Bilim) = 50

- n(Sanat) = 40

- n(İkisini okuyan) = 15

- Toplamda 80 kitap varsa, hiçbirini okumayan kaç kişi vardır?

Çözüm:

Tablo Yöntemi:

Venn Diyagramı:

✓ Kontrol:

- Toplamı = 35 + 15 + 25 + 5 = 80 ✓

- n(Bilim) = 35 + 15 = 50 ✓

- n(Sanat) = 15 + 25 = 40 ✓

Cevap: 5 kişi hiçbirini okumamıştır ⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Tablo yöntemi sistematik ve hata yapma riski az

 ÜÇ KÜMELİ PROBLEMLER

 Venn Diyagramı Şablonu

7 Bölge Açıklaması:

 ZOR SEVİYE (⭐⭐⭐)

 Örnek 5: Üç Küme Problemi - Birleşim Formülü (⭐⭐⭐)

Soru: Bir grupta:

- n(E) = 100 (toplam)

- n(A) = 60 (İngilizce)

- n(B) = 50 (Matematik)

- n(C) = 40 (Kimya)

- n(A ∩ B) = 20

- n(A ∩ C) = 15

- n(B ∩ C) = 10

- n(A ∩ B ∩ C) = 5

En az bir dersi alanlar ve hiçbirini almayanlar kaç kişi?

Çözüm:

Adım 1: Üç küme birleşim formülünü uygula

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C)$$

$$- n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$$

Adım 2: Sayıları yerleştir

$$n(A \cup B \cup C) = 60 + 50 + 40 - 20 - 15 - 10 + 5$$

Adım 3: Hesapla

$$= 150 - 45 + 5 = 110$$

⚠️ Hata Kontrolü:

- n(A ∪ B ∪ C) = 110

- n(E) = 100

- 110 > 100 → VERİ TUTARSIZ!

Gerçek sorularda bu tür hata olmamalı. Eğer olursa, veriler çelişkilidir.

Adım 4: Eğer veri tutarlı olsaydı:

$$\text{Hiçbirini almayan} = n(E) - n(A \cup B \cup C) = 100 - 110 = -10$$

Bu negatif sonuç verinin hatalı olduğunu kanıtlar.

✓ Kontrol (Varsayımsal Tutarlı Veri):

- Tüm kümeleri topla: 60 + 50 + 40 = 150

- İki kümeli kesişimleri çıkar: -20 - 15 - 10 = -45

- Üç kümeli kesişimi ekle: +5

- Sonuç: 150 - 45 + 5 = 110 ✓ (matematiksel olarak)

Cevap: Veri tutarsız (birleşim > evrensel) ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Üç küme problemlerinde:

1. Formülü ezberlersen 2 dakikada çözersin

2. Sonuç negatif veya n(E)'den büyükse veri hatalı

3. Kontrol et: Σn - Σ(2'li) + n(3'lü)

 Örnek 6: Üç Küme - Sadece Bölgeler (⭐⭐⭐)

Soru: 

- n(A) = 30

- n(B) = 25

- n(C) = 20

- n(A ∩ B) = 10

- n(A ∩ C) = 8

- n(B ∩ C) = 5

- n(A ∩ B ∩ C) = 3

Sadece A'da kaç eleman vardır?

Çözüm:

Método: Dıştan içe git

Adım 1: A'nın tüm kesişimlerini düşün

- A'daki herşey = 30

Adım 2: İki kümeli kesişimleri çıkar

- A'dan çıkacak: A∩B ve A∩C

- Ancak A∩B∩C'yi iki kez çıkarırız, bir kez ekle

Adım 3: Formül

$$\text{Sadece A} = n(A) - [n(A \cap B) - n(A \cap B \cap C)] - [n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)] - n(A \cap B \cap C)$$

$$= 30 - [10 - 3] - [8 - 3] - 3$$

$$= 30 - 7 - 5 - 3 = 15$$

✓ Kontrol:

- Sadece A = 15

- A∩B sadece = 10 - 3 = 7

- A∩C sadece = 8 - 3 = 5

- A∩B∩C = 3

- Toplamda A'da = 15 + 7 + 5 + 3 = 30 ✓

Cevap: 15 eleman sadece A'da vardır ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Üç küme sorusunda "sadece bir bölge" soruluyorsa:

- O küme eksi diğer kümelerin kesişimleri (ancak 3'lü kesişimi doğru hesapla)

 Örnek 7: Hiçbirinde Olanlar (⭐⭐⭐)

Soru: 

- n(E) = 60

- n(A) = 25

- n(B) = 20

- n(C) = 15

- n(A ∩ B) = 5

- n(A ∩ C) = 4

- n(B ∩ C) = 3

- n(A ∩ B ∩ C) = 1

Hiçbirinde olan kaç eleman vardır?

Çözüm:

Adım 1: Birleşim formülü uygula

$$n(A \cup B \cup C) = 25 + 20 + 15 - 5 - 4 - 3 + 1$$

$$= 60 - 12 + 1 = 49$$

Adım 2: Hiçbirinde olanları bul

$$\text{Hiçbirinde} = n(E) - n(A \cup B \cup C) = 60 - 49 = 11$$

✓ Kontrol:

- Birleşim: 49 ✓

- Hiçbirinde: 11 ✓

- Toplam: 49 + 11 = 60 ✓

Cevap: 11 eleman hiçbirinde yoktur ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Hiçbirinde = E - (A ∪ B ∪ C). Formülü doğru uyguladığında sonuç doğal çıkar.

 TABLO YÖNTEMİ - ÜÇ KÜME

 Tablo Şablonu

 Örnek 8: Tablo Yöntemiyle Üç Küme (⭐⭐⭐)

Soru: Bir okulda:

- n(E) = 80

- n(A) = 30, n(B) = 25, n(C) = 20

- n(A∩B) = 8, n(A∩C) = 6, n(B∩C) = 5

- n(A∩B∩C) = 2

Tüm bölgeleri doldurun.

Çözüm:

Adım 1: 3'lü kesişimi başa yaz

- A∩B∩C = 2

Adım 2: Sadece 2'li kesişimleri hesapla

- Sadece A∩B = 8 - 2 = 6

- Sadece A∩C = 6 - 2 = 4

- Sadece B∩C = 5 - 2 = 3

Adım 3: Sadece tek kümeleri hesapla

- Sadece A = 30 - 6 - 4 - 2 = 18

- Sadece B = 25 - 6 - 3 - 2 = 14

- Sadece C = 20 - 4 - 3 - 2 = 11

Adım 4: Hiçbirinde olanları hesapla

- Hiçbirinde = 80 - (18 + 6 + 14 + 3 + 4 + 11 + 2) = 80 - 58 = 22

Tablo Sonuç:

✓ Kontrol:

- n(A) = 18 + 6 + 4 + 2 = 30 ✓

- n(B) = 6 + 14 + 3 + 2 = 25 ✓

- n(C) = 4 + 3 + 11 + 2 = 20 ✓

- n(A∩B) = 6 + 2 = 8 ✓

- n(A∩C) = 4 + 2 = 6 ✓

- n(B∩C) = 3 + 2 = 5 ✓

- Toplam = 18 + 6 + 14 + 3 + 4 + 11 + 2 + 22 = 80 ✓

Cevap: Tablo yukarıda gösterildi ⭐⭐⭐

🎯 Püf Noktası: Tablo yöntemi:

1. İçten dışa git (3'lü → 2'li → tek)

2. Her satırda kontrol et

3. Hiçbirinde = E - Toplam

 YAYGÍN HATALAR

 🎯 PÜF NOKTALAR - ÖZET

✓ İki Küme Venn Diyagramı:

1. Kesişim ortaya

2. Sadece A ve Sadece B yanlara

3. Hiçbirinde dışarıda

✓ Formüller:

- n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

- Sadece X = n(X) - n(X ∩ Y)

- Hiçbirinde = n(E) - n(A ∪ B)

✓ Üç Küme Stratejisi:

1. İçten dışa (3'lü → 2'li → tek)

2. Tablo kullan = hata az

3. n(A ∪ B ∪ C) = Σn - Σ(2'li) + n(3'lü)

✓ Kontrol Noktaları:

- Toplamı = E

- Her küme = kendi bölgelerin toplamı

- Negatif sonuç = hata var

✓ Venn Diyagramı Çizimi:

- İki küme = 4 bölge

- Üç küme = 8 bölge

✓ Tablo Yöntemi:

- Sistematik, hata az

- Adım adım ilerle

- Her adımdan sonra kontrol et