2. ÖZDEŞLIKLER: İKİ KARE FARKI, TAM KARE AÇILIMI
ÖZDEŞLIK KAVRAMI
Tanım
Özdeşlik: Değişkenin tüm değerleri için doğru olan eşitliktir.
Denklem: Sadece bazı değerler için doğrudur.
Fark:
- Özdeşlik: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ (her $x$ için doğru)
- Denklem: $x^2 - 1 = 0$ (sadece $x = \pm 1$ için doğru)
İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLIĞI
Formül
$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$
Geometrik Anlamı
Formülün Türetilmesi
Doğrudan çarpan:
$$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$$
Örnek 1: Basit İki Kare Farkı
Soru: $x^2 - 9$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$$
Örnek 2: Katsayılı İki Kare Farkı
Soru: $4x^2 - 25$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$$
Örnek 3: Değişkenli İki Kare Farkı
Soru: $a^2b^2 - 16c^2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$$a^2b^2 - 16c^2 = (ab)^2 - (4c)^2 = (ab + 4c)(ab - 4c)$$
Örnek 4: Daha Karmaşık İfade
Soru: $x^4 - 1$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
İlk olarak iki kare farkı:
$$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)$$
İkinci faktörü yeniden iki kare farkı:
$$= (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$$
TAM KARE AÇILIMI
Formüller
Formül 1: Toplamın Karesi
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Formül 2: Farkın Karesi
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Geometrik Anlamı
Formüllerin Türetilmesi
Toplamın Karesi:
$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Farkın Karesi:
$$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Örnek 5: Toplamın Karesi
Soru: $x^2 + 4x + 4$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Tam kare açılımı olup olmadığını kontrol edelim:
- Birinci terim: $x^2 = (x)^2$
- Son terim: $4 = 2^2$
- Ortadaki terim: $4x = 2 \times x \times 2$
Tam kare açılımı:
$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$
Örnek 6: Farkın Karesi
Soru: $x^2 - 6x + 9$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Tam kare açılımı kontrol:
- Birinci terim: $x^2 = (x)^2$
- Son terim: $9 = 3^2$
- Ortadaki terim: $-6x = -2 \times x \times 3$
Tam kare açılımı:
$$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$
Örnek 7: Katsayılı Tam Kare
Soru: $4x^2 + 4xy + y^2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
- Birinci terim: $4x^2 = (2x)^2$
- Son terim: $y^2 = (y)^2$
- Ortadaki terim: $4xy = 2 \times 2x \times y$
$$4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$$
Örnek 8: Negatif Katsayılı Tam Kare
Soru: $9x^2 - 12xy + 4y^2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
- Birinci terim: $9x^2 = (3x)^2$
- Son terim: $4y^2 = (2y)^2$
- Ortadaki terim: $-12xy = -2 \times 3x \times 2y$
$$9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2$$
İKİ KARE FARKI VE TAM KARE AÇILIMI TABLOSU
Formül Adı | Formül | Çarpanlar | Örnek |
İki Kare Farkı |
|
|
|
Toplamın Karesi |
|
|
|
Farkın Karesi |
|
|
|
Kombinasyon |
|
|
|
Kombinasyon |
|
|
|
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 9: Birleşik Çarpanlara Ayırma
Soru: $x^2 + 4x + 4 - y^2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Önce tam kare açılımını görmek:
$$x^2 + 4x + 4 - y^2 = (x + 2)^2 - y^2$$
Sonra iki kare farkı:
$$= [(x + 2) + y][(x + 2) - y]$$
$$= (x + 2 + y)(x + 2 - y)$$
Örnek 10: İki Kare Farkı Tekrarı
Soru: $x^4 - 16$ ifadesini tamamen çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
İlk adım - iki kare farkı:
$$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)$$
İkinci adım - ikinci faktörü yeniden iki kare farkı:
$$= (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$$
Örnek 11: Denklem Çözme
Soru: $x^2 - 25 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.
Çözüm:
İki kare farkı:
$$(x + 5)(x - 5) = 0$$
Çözümler:
$$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$$
$$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$$
Çözüm Kümesi: $Ç = \{-5, 5\}$
Örnek 12: Tam Kare ile Denklem
Soru: $x^2 + 8x + 16 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.
Çözüm:
Tam kare açılımı:
$$(x + 4)^2 = 0$$
Çözüm:
$$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$
Çözüm Kümesi: $Ç = \{-4\}$ (Çift kök)
PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER
🎯 Püf Nokta 1: İki Kare Farkı Unutma
Her zaman $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ formülünü hatırla.
🎯 Püf Nokta 2: Tam Kare Kontrol
Tam kare açılımı olup olmadığını kontrol ederken, ortadaki terimin $\pm 2ab$ olup olmadığını kontrol et.
🎯 Püf Nokta 3: Tekrarlı Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara ayrıldıktan sonra, yeni ifadelerin yeniden çarpanlarına ayrılıp ayrılamayacağını kontrol et.
🎯 Püf Nokta 4: Denklem Çözümü
Çarpanlarına ayrıldığında, her faktörü sıfıra eşitle.
YAYGIN HATALAR
❌ Hata 1: İki Kare Farkı Değil
Yanlış: $x^2 + 9 = (x + 3)(x - 3)$
Doğru: $x^2 + 9$ çarpanlarına ayrılamaz (reel sayılarda)
❌ Hata 2: Tam Kare Hatası
Yanlış: $x^2 + 4x + 4 = (x + 4)^2$
Doğru: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
❌ Hata 3: Ortadaki Terim Hatası
Yanlış: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ ve $x^2 + 6x + 9 = (x + 9)^2$
Doğru: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 13: Büyük Sayılarda İki Kare Farkı
Soru: $100x^2 - 49y^2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
$$100x^2 - 49y^2 = (10x)^2 - (7y)^2 = (10x + 7y)(10x - 7y)$$
Örnek 14: Üçlü Terim İfade
Soru: $9a^2 + 30ab + 25b^2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
- Birinci terim: $9a^2 = (3a)^2$
- Son terim: $25b^2 = (5b)^2$
- Ortadaki terim: $30ab = 2 \times 3a \times 5b$
$$9a^2 + 30ab + 25b^2 = (3a + 5b)^2$$
SONUÇ
İki kare farkı ve tam kare açılımı, çarpanlara ayırmanın en temel ve sık kullanılan özdeşlikleridir. Bu formülleri iyi öğrenmek ve tanımayı pratik yapmak, matematiksel problem çözmede hız kazandırır.
Alıştırma Soruları
Bu konuyu ne kadar öğrendiğini test et!