TOPLAMA İŞLEMİ

 Aynı Paydaya Sahip Kesirlerin Toplanması

Kural:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

Açıklama: Paylar toplanır, payda aynı kalır.

Örnek:

$$\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$$

 Farklı Paydaya Sahip Kesirlerin Toplanması

Algoritma:

1. Ortak payda bul (EKOK hesapla)

2. Kesirleri ortak paydaya çevir

3. Payları topla

Kural:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$$

Örnek: $\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$

$\text{EKOK}(3, 5) = 15$

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} + \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15}$$

Toplama Görselleştirmesi:

ÇIKARMA İŞLEMİ

 Aynı Paydaya Sahip Kesirlerin Çıkarılması

Kural:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$$

Örnek:

$$\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7-4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

 Farklı Paydaya Sahip Kesirlerin Çıkarılması

Algoritma:

1. Ortak payda bul

2. Kesirleri ortak paydaya çevir

3. Payları çıkar

Kural:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$$

Örnek: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

$\text{EKOK}(6, 4) = 12$

$$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} - \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

 ÇARPMA İŞLEMİ

 Iki Kesrin Çarpımı

Kural: Paylar birbiriyle, paydalar birbiriyle çarpılır.

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Özellikler:

- Değişme: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$

- Birleşme: $\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \times \left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right)$

Örnek: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$

$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$$

 Kesir ile Tam Sayının Çarpımı

Kural:

$$n \times \frac{a}{b} = \frac{n \times a}{b}$$

Örnek: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}$

$$3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}$$

Çarpma Görselleştirmesi:

BÖLME İŞLEMİ

 Iki Kesrin Bölümü

Kural: Bölünen kesir, bölen kesrin tersi ile çarpılır.

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$

Şart: $c \neq 0$ (bölen sıfır olamaz)

Örnek: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$

$$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$

 Kesir ile Tam Sayıya Bölme

Kural:

$$\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \times \frac{1}{n} = \frac{a}{b \times n}$$

Örnek: $\frac{6}{7} \div 2$

$$\frac{6}{7} \div 2 = \frac{6}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$$

 Tam Sayıya Kesir Bölmesi

Kural:

$$n \div \frac{a}{b} = n \times \frac{b}{a} = \frac{n \times b}{a}$$

Örnek: $3 \div \frac{2}{5}$

$$3 \div \frac{2}{5} = 3 \times \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$$

 İŞLEM ÖNCELİĞİ

1. Parantez

2. Üs

3. Çarpma ve Bölme (soldan sağa)

4. Toplama ve Çıkarma (soldan sağa)

Örnek: $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} - \frac{1}{3}$

$$= \frac{3}{4} + \frac{4}{10} - \frac{1}{3}$$ (Önce çarpma)

$$= \frac{3}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3}$$ (Sadeleştirme)

$$= \frac{45}{60} + \frac{24}{60} - \frac{20}{60}$$ (Ortak payda)

$$= \frac{45 + 24 - 20}{60} = \frac{49}{60}$$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Toplama

Soru: $\frac{3}{8} + \frac{5}{12}$ işlemini yapınız.

Çözüm:

$\text{EKOK}(8, 12) = 24$

$$\frac{3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} + \frac{5 \times 2}{12 \times 2} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$$

 Örnek 2: Çıkarma

Soru: $2\frac{3}{5} - 1\frac{1}{4}$ işlemini yapınız.

Çözüm:

Bileşik kesire çevir:

$2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$, $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$\text{EKOK}(5, 4) = 20$

$$\frac{13}{5} - \frac{5}{4} = \frac{13 \times 4}{5 \times 4} - \frac{5 \times 5}{4 \times 5} = \frac{52}{20} - \frac{25}{20} = \frac{27}{20} = 1\frac{7}{20}$$

 Örnek 3: Çarpma

Soru: $\frac{6}{7} \times \frac{14}{9} \times \frac{3}{4}$ işlemini yapınız.

Çözüm:

$$\frac{6}{7} \times \frac{14}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{6 \times 14 \times 3}{7 \times 9 \times 4}$$

Sadeleştirelim:

$$= \frac{6 \times 14 \times 3}{7 \times 9 \times 4} = \frac{2 \times 2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{1 \times 1 \times 1}{1 \times 1} = 1$$

 Örnek 4: Bölme

Soru: $\frac{5}{8} \div \frac{15}{16}$ işlemini yapınız.

Çözüm:

$$\frac{5}{8} \div \frac{15}{16} = \frac{5}{8} \times \frac{16}{15} = \frac{5 \times 16}{8 \times 15} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$$

 Örnek 5: Karmaşık İşlem

Soru: $\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}\right) \times \left(\frac{2}{5} - \frac{1}{10}\right)$ işlemini yapınız.

Çözüm:

İlk parantez: $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$

$\text{EKOK}(4, 6) = 12$

$$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$$

İkinci parantez: $\frac{2}{5} - \frac{1}{10}$

$$\frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$$

Çarpma: $\frac{11}{12} \times \frac{3}{10}$

$$\frac{11}{12} \times \frac{3}{10} = \frac{33}{120} = \frac{11}{40}$$

 Örnek 6: Problem Uygulaması

Soru: Bir bahçenin $\frac{1}{3}$'ü mısır, $\frac{1}{4}$'ü fasulye ekiliyor. Ekilmeyen kısım ne kadardır?

Çözüm:

Ekilmeyen kısım:

$$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{12}{12} - \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Sonuç: Bahçenin $\frac{5}{12}$'i ekilmemiştir.

 İŞLEM ÖZELLİKLERİ

 Dağılma Özelliği

$$\frac{a}{b} \times \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \times \frac{e}{f}$$

Örnek: $\frac{2}{3} \times \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right)$

$$= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$$

$$= \frac{2}{6} + \frac{6}{12}$$

$$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Ortak Payda Bulma

Hızlı ortak payda bulmak için EKOK kullan, gereksiz yere çarpmaktan kaçın.

 🎯 Püf Nokta 2: Sadeleştirme

Çarpma işleminde çarpımdan önce sadeleştir, hesaplamalar daha kolay olur.

 🎯 Püf Nokta 3: Bölme = Ters ile Çarpma

Bölme işlemini her zaman ters ile çarpmaya çevir.

 🎯 Püf Nokta 4: Sıfır Durumu

$\frac{0}{a} = 0$ (sıfır herhangi sayıya bölünmesi)

$\frac{a}{0} = $ tanımsız

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Toplama/Çıkarmada Sadece Payı Toplamak

Yanlış: $\frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{5}{12}$

Doğru: Ortak payda gerekir: $\frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{31}{35}$

 ❌ Hata 2: Çarpmada Ortak Payda

Yanlış: $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{9}$

Doğru: $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

 ❌ Hata 3: Bölme Tersi Unutmak

Yanlış: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{6}{20}$

Doğru: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 7: Kesirli Denklem

Soru: $x + \frac{2}{3} = \frac{5}{4}$ ise $x$ kaçtır?

Çözüm:

$$x = \frac{5}{4} - \frac{2}{3} = \frac{15}{12} - \frac{8}{12} = \frac{7}{12}$$