TEMEL KAVRAMLAR VE YAKLAŞIM

 Madde Ekleme ve Su Buharlaştırma Nedir?

Karışım problemlerinde, karışıma madde (örneğin tuz, şeker, asit) eklenmesi veya karışımdan suyun buharlaştırılması gibi işlemler, karışımın oran ve miktarını değiştirir. Bu tür işlemler, ardışık adımlar halinde analiz edilir ve her adımda yeni oran ve miktar hesaplanır.

 Temel Mantık ve Yöntem

- Her adımda tablo oluştur: Toplam karışım miktarı ve madde miktarını güncelle.

- Ekleme: Madde veya su eklenirse, toplam miktar ve madde miktarı artar.

- Buharlaşma: Sadece su buharlaşırsa, madde miktarı değişmez, toplam miktar azalır.

- Her adımda yeni oranı hesapla: $r = \frac{M}{V} \times 100$

 TEMEL FORMÜLLER (HIZLI REFERANS)

 KULLANILAN YÖNTEMLER

 1. Madde Ekleme

- Eklenen madde miktarı doğrudan toplam madde miktarına eklenir.

- Toplam karışım miktarı da artar.

- Oran: Artar (daha yüksek oranda madde ekleniyor)

Formül:

$$M_{yeni} = M_{eski} + ΔM$$

$$V_{yeni} = V_{eski} + ΔV$$

$$r_{yeni} = \frac{M_{yeni}}{V_{yeni}} × 100$$

 2. Su Ekleme (Seyreltme)

- Saf su eklenirse, madde miktarı değişmez.

- Toplam karışım miktarı artar.

- Oran: Azalır (karışım seyreltilir)

Formül:

$$M_{yeni} = M_{eski}$$ (değişmez)

$$V_{yeni} = V_{eski} + ΔV_{su}$$

$$r_{yeni} = \frac{M_{eski}}{V_{yeni}} × 100$$ (oran AZALIR)

 3. Su Buharlaştırma (KRITIK!)

- Buharlaşan miktar kadar toplam hacim azalır.

- Madde miktarı DEĞİŞMEZ (saf su buharlaşır, madde kalır).

- Oran: ARTAR (madde sabit, toplam azalır)

Formül:

$$M_{yeni} = M_{eski}$$ (değişmez - ÖNEMLİ!)

$$V_{yeni} = V_{eski} - ΔV_{su}$$

$$r_{yeni} = \frac{M_{eski}}{V_{yeni}} × 100$$ (oran ARTAR!)

 4. Ardışık İşlem Tablosu

Her adımda tabloyu güncellemek, özellikle birden fazla işlemde hata riskini azaltır.

 GÖRSEL 1: MADDE EKLEME - SU EKLEME - BUHARLAŞMA KARŞILAŞTIRMASI

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Madde Ekleme

Soru: 40 kg %20 tuzlu suya 8 kg tuz eklenirse yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç olur?

Çözüm - Adım Adım:

$$Yeni\,Oran = \frac{16}{48} × 100 = 33.33\%$$

✓ Kontrol:

- İlk tuz doğru mu? (40 × 0.20 = 8) ✓

- Eklenen tuz doğru mu? (8 kg saf tuz) ✓

- Toplam tuz toplandı mı? (8 + 8 = 16) ✓

- Yeni toplam doğru mu? (40 + 8 = 48) ✓

- Oran formülü doğru mu? (16/48 ≈ 0.3333 = 33.33%) ✓

- Mantık: Tuz eklendi, oran arttı mı? (20% → 33.33% ✓)

- Sonuç %0-100 arasında mı? ✓

Cevap: %33.33

 Örnek 2: Su Buharlaştırma (ÖNEMLI)

Soru: 60 litre %25 şekerli suyun 12 litresi buharlaşırsa (saf su buharlaşıyor), yeni şeker oranı yüzde kaç olur?

Çözüm - Adım Adım:

$$Yeni\,Oran = \frac{15}{48} × 100 ≈ 31.25\%$$

✓ Kontrol:

- İlk şeker doğru mu? (60 × 0.25 = 15) ✓

- Buharlaşan su doğru mu? (12 L saf su) ✓

- Şeker miktarı değişti mi? (15 L - değişmedi!) ✓ KRİTİK

- Yeni hacim doğru mu? (60 - 12 = 48) ✓

- Oran formülü doğru mu? (15/48 ≈ 0.3125 = 31.25%) ✓

- Mantık: Su buharlaştı, oran arttı mı? (25% → 31.25% ✓) ÖNEMLİ!

- Sonuç %0-100 arasında mı? ✓

Cevap: ≈ 31.25%

 Örnek 3: Madde ve Su Ekleme

Soru: 50 kg %10 asitli çözeltiye 10 kg asit ve 20 kg saf su eklenirse yeni asit oranı yüzde kaç olur?

Çözüm - Adım Adım:

$$Yeni\,Oran = \frac{15}{80} × 100 = 18.75\%$$

✓ Kontrol:

- İlk asit doğru mu? (50 × 0.10 = 5) ✓

- 1. adım asit toplandı mı? (5 + 10 = 15) ✓

- 1. adım toplam doğru mu? (50 + 10 = 60) ✓

- 2. adım asit değişti mi? (15 - sabit) ✓

- 2. adım toplam doğru mu? (60 + 20 = 80) ✓

- Oran doğru mu? (15/80 = 0.1875 = 18.75%) ✓

- Mantık: Asit ve su eklendi, oran değişti mi? (10% → 18.75% ↑) ✓

Cevap: 18.75%

 Örnek 4: Sadece Su Ekleme (Seyreltme)

Soru: 80 litre %35 tuzlu suya 20 litre saf su eklenirse yeni tuz oranı yüzde kaç olur?

Çözüm - Adım Adım:

$$Yeni\,Oran = \frac{28}{100} × 100 = 28\%$$

✓ Kontrol:

- İlk tuz doğru mu? (80 × 0.35 = 28) ✓

- Eklenen su doğru mu? (20 L saf su, tuz yok) ✓

- Tuz miktarı değişti mi? (28 - sabit) ✓

- Yeni toplam doğru mu? (80 + 20 = 100) ✓

- Oran formülü doğru mu? (28/100 = 28%) ✓

- Mantık: Su eklendi, oran azaldı mı? (35% → 28% ↓) ✓

Cevap: 28%

 Örnek 5: Ardışık Buharlaşma (Çok Aşama)

Soru: 100 kg %40 şekerli suyun önce 20 kg'ı, sonra kalanının %10'u buharlaşıyor. Son durumda şeker oranı yüzde kaç olur?

Çözüm - Adım Adım:

$$Yeni\,Oran = \frac{40}{72} × 100 ≈ 55.56\%$$

✓ Kontrol:

- İlk şeker doğru mu? (100 × 0.40 = 40) ✓

- 1. adım buharlaşma doğru mu? (100 - 20 = 80) ✓

- 1. adım şeker değişti mi? (40 - sabit) ✓

- 1. adım oran doğru mu? (40/80 = 50%) ✓

- 2. adım buharlaşma miktarı doğru mu? (80 × 0.10 = 8) ✓

- 2. adım yeni toplam doğru mu? (80 - 8 = 72) ✓

- 2. adım şeker değişti mi? (40 - sabit) ✓

- Oran doğru mu? (40/72 ≈ 55.56%) ✓

- Mantık: Su buharlaştı, oran arttı mı? (40% → 50% → 55.56% ✓✓)

Cevap: ≈ 55.56%

 Örnek 6: Madde Ekleme ve Buharlaşma (Kombinasyon)

Soru: 60 kg %30 tuzlu suya 6 kg tuz eklenip, ardından 10 kg su buharlaştırılırsa yeni tuz oranı yüzde kaç olur?

Çözüm - Adım Adım:

$$Yeni\,Oran = \frac{24}{56} × 100 ≈ 42.86\%$$

✓ Kontrol:

- İlk tuz doğru mu? (60 × 0.30 = 18) ✓

- Eklenen tuz doğru mu? (6 kg saf tuz) ✓

- Adım 1 tuz toplandı mı? (18 + 6 = 24) ✓

- Adım 1 toplam doğru mu? (60 + 6 = 66) ✓

- Adım 2 tuz değişti mi? (24 - sabit) ✓

- Adım 2 buharlaşma doğru mu? (66 - 10 = 56) ✓

- Oran doğru mu? (24/56 ≈ 42.86%) ✓

- Mantık: Tuz eklendi + su kaçtı, oran arttı mı? (30% → 36.36% → 42.86% ✓✓)

Cevap: ≈ 42.86%

 Örnek 7: Karışımda Oran Denklemli Soru (Ters Problem)

Soru: 40 kg %25 asitli çözeltiye $x$ kg saf su eklenirse asit oranı %20 olur. $x$ kaçtır?

Çözüm:

Başlangıç Durumu:

- Toplam: 40 kg

- Asit oranı: %25

- Asit miktarı: 40 × 0.25 = 10 kg

Sonuç Durumu:

- Toplam: 40 + x kg

- Asit oranı: %20 (aranan)

- Asit miktarı: 10 kg (değişmez, sadece su eklendi)

Denklem Kurma:

$$\frac{10}{40 + x} = 0.20$$

Çözüm:

$$10 = 0.20(40 + x)$$

$$10 = 8 + 0.20x$$

$$2 = 0.20x$$

$$x = \frac{2}{0.20} = 10 \text{ kg}$$

✓ Kontrol:

- Asit miktarı sabit mı? (10 kg) ✓

- Yeni toplam doğru mu? (40 + 10 = 50) ✓

- Yeni oran doğru mu? (10/50 = 0.20 = 20%) ✓

- Denklem yerine koyma: 10/(40+10) = 10/50 = 0.20 ✓

- Mantık: Su eklendi, oran azaldı mı? (25% → 20% ✓)

Cevap: 10 kg

 Örnek 8: Kaç kg Madde Eklenirse? (Ters Problem)

Soru: 80 kg %30 tuzlu suya kaç kg tuz eklenirse tuz oranı %40 olur?

Çözüm:

Başlangıç Durumu:

- Toplam: 80 kg

- Tuz oranı: %30

- Tuz miktarı: 80 × 0.30 = 24 kg

Sonuç Durumu:

- Toplam: 80 + x kg (eklenen tuz miktarı = x)

- Tuz oranı: %40 (aranan)

- Tuz miktarı: 24 + x kg

Denklem Kurma:

$$\frac{24 + x}{80 + x} = 0.40$$

Çözüm:

$$24 + x = 0.40(80 + x)$$

$$24 + x = 32 + 0.40x$$

$$x - 0.40x = 32 - 24$$

$$0.60x = 8$$

$$x = \frac{8}{0.60} ≈ 13.33 \text{ kg}$$

✓ Kontrol:

- Yeni tuz: 24 + 13.33 = 37.33 kg ✓

- Yeni toplam: 80 + 13.33 = 93.33 kg ✓

- Oran: 37.33/93.33 ≈ 0.40 = 40% ✓

- Denklem yerine koyma: (24+13.33)/(80+13.33) = 37.33/93.33 ≈ 0.40 ✓

- Mantık: Tuz eklendi, oran arttı mı? (30% → 40% ✓)

Cevap: ≈ 13.33 kg

 TABLO İLE ÇÖZÜM - ŞABLON

 GÖRSEL 2: ARDIŞIK İŞLEM - TABLO YÖNTEMİ

 SORUYA YAKLAŞIRKEN DİKKAT EDİLECEKLER

✓ Her adımda toplam ve madde miktarını güncelleyin

✓ Buharlaşmada sadece suyun gittiğini, madde miktarının değişmediğini unutmayın

✓ Ekleme türünü ayırt edin: Madde vs Su (farklı etkiler)

✓ Tablo ile ilerleyin, özellikle ardışık işlemlerde

✓ Sonucu kontrol edin: Mantıksız/negatif sonuç varsa adımları gözden geçirin

✓ Oran %0-100 arasında mı?

✓ İşlem sonrası oran beklentiye uyuyor mu? (madde eklenmişse arttı mı, su eklenmişse azaldı mı)

 🎯 PÜF NOKTALAR — ÖZET

🎯 BUHARLAŞMA — EN ÖNEMLİ KONCEPTİ!

- Sadece SU buharlaşır

- Madde miktarı DEĞİŞMEZ (kreatif: tuz buharlaşmazsa, şeker buharlaşmazsa)

- Oran HER ZAMAN ARTAR (madde sabit, toplam azalır)

- Örnek: 100 L %30 tuzlu → 80 L buharlaşma → %37.5 tuzlu (oran ARTTI!)

🎯 EKLEME TÜRLERI

- Saf madde ekleme: M↑, V↑, oran artar

- Saf su ekleme: M↔ (sabit), V↑, oran AZALIR (seyreltme)

- İki farklı işlem, iki farklı sonuç!

🎯 ARDIŞIK İŞLEM KABUL YOLU

- Her adımda yeni başlangıç değerini yaz

- Tablo oluştur ve güncelle

- Önceki adımın sonucu = sonraki adımın başlangıcı

- Başlangıcı güncellemeyi unutma = Sonuç hatalı

🎯 TERS PROBLEM ÇÖZÜMÜ

- Bilinmeyen tanımla: x = eklenen/buharlaşan miktar

- Oran denklemini kur: $\frac{M}{V} = 0.zz$

- Cebirsel olarak çöz

- Sonucu kontrol et

🎯 KONTROL MEKANİZMASI

- Oran %0-100 arasında mı?

- Mantık: Tuz eklenmişse oran arttı mı?

- Mantık: Su buharlaşmışsa oran arttı mı?

- Mantık: Su eklenmişse oran azaldı mı?

- Denklem yerine koy ve kontrol et

 ⚠️ YAYGRIN HATALAR

 💪 KENDİNİ TEST ET

 Test 1: Madde Ekleme

Soru: 50 kg %20 tuzlu suya 10 kg tuz eklenirse yeni oran yüzde kaçtır?

Çözüm:

- İlk tuz: 50 × 0.20 = 10 kg

- Toplam tuz: 10 + 10 = 20 kg

- Yeni toplam: 50 + 10 = 60 kg

- Yeni oran: 20/60 × 100 = 33.33%

Cevap: 33.33%

 Test 2: Su Ekleme (Seyreltme)

Soru: 100 litre %30 asitli çözelti kaç litre saf su eklenirse %20 asitli olur?

Çözüm:

- Asit miktarı: 100 × 0.30 = 30 L (sabit)

- Yeni toplam: 100 + x

- Yeni oran: 30/(100+x) = 0.20

Denklem:

$$30 = 0.20(100 + x)$$

$$30 = 20 + 0.20x$$

$$10 = 0.20x$$

$$x = 50 \text{ L}$$

Kontrol:

- Asit: 30 L (sabit) ✓

- Yeni toplam: 100 + 50 = 150 L ✓

- Oran: 30/150 = 20% ✓

Cevap: 50 litre

 Test 3: Buharlaşma (Oran Yükselişi)

Soru: 200 litre %20 tuzlu suyun 50 litresi buharlaşırsa yeni tuz oranı yüzde kaç olur?

Çözüm:

- Tuz miktarı: 200 × 0.20 = 40 L (değişmez)

- Yeni hacim: 200 - 50 = 150 L

- Yeni oran: 40/150 × 100 ≈ 26.67%

Kontrol:

- Tuz değişmedi mi? (40 L - sabit) ✓

- Hacim azaldı mı? (200 → 150) ✓

- Oran arttı mı? (20% → 26.67% ✓)

Cevap: ≈ 26.67%

 Test 4: Madde Ekleme + Buharlaşma

Soru: 80 kg %25 tuzlu suya 8 kg tuz eklendikten sonra 10 kg su buharlaşırsa son tuz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm:

$$Son\,Oran = \frac{28}{78} × 100 ≈ 35.90\%$$

Cevap: ≈ 35.90%

 Test 5: Ardışık Buharlaşma

Soru: 120 kg %50 şekerli suyun önce 30 kg'ı, sonra kalanının %20'si buharlaşıyor. Son şeker oranı yüzde kaçtır?

Çözüm:

$$Son\,Oran = \frac{60}{72} × 100 ≈ 83.33\%$$

Cevap: ≈ 83.33%

 Test 6: Ters Problem - Madde Bulma

Soru: 150 kg %15 asitli çözeltiye kaç kg asit eklenirse %25 asitli olur?

Çözüm:

- İlk asit: 150 × 0.15 = 22.5 kg

- Eklenen asit: x kg

- Yeni toplam: 150 + x

- Denklem: (22.5+x)/(150+x) = 0.25

Çöz:

$$22.5 + x = 0.25(150 + x)$$

$$22.5 + x = 37.5 + 0.25x$$

$$0.75x = 15$$

$$x = 20 \text{ kg}$$

Kontrol:

- Yeni asit: 22.5 + 20 = 42.5 kg ✓

- Yeni toplam: 150 + 20 = 170 kg ✓

- Oran: 42.5/170 = 0.25 = 25% ✓

Cevap: 20 kg

 Test 7: Karma Problem (Ekleme + Buharlaşma + Ters)

Soru: 60 kg %30 tuzlu suya 6 kg tuz eklendikten sonra kaç kg su buharlaştırılırsa tuz oranı %50 olur?

Çözüm:

1. adım: Tuz ekleme

- İlk tuz: 60 × 0.30 = 18 kg

- Yeni tuz: 18 + 6 = 24 kg

- Yeni toplam: 60 + 6 = 66 kg

2. adım: Buharlaşma (ters problem)

- Tuz: 24 kg (sabit)

- Yeni toplam: y kg

- Denklem: 24/y = 0.50

Çöz:

$$y = \frac{24}{0.50} = 48 \text{ kg}$$

Buharlaşan su:

$$66 - 48 = 18 \text{ kg}$$

Kontrol:

- Tuz eklendikten sonra: 66 kg, 24 kg tuz ✓

- Buharlaşan: 18 kg ✓

- Yeni toplam: 66 - 18 = 48 kg ✓

- Oran: 24/48 = 0.50 = 50% ✓

Cevap: 18 kg

 📝 CEVAP ANAHTARI

 SONUÇ

Madde ekleme ve su buharlaştırma içeren karışım problemlerinde başarı için:

1. İşlem Türünü Ayırt Et:

   - Madde ekleme vs Su ekleme (farklı sonuçlar!)

   - Buharlaşma (madde hiç değişmez, oran ARTAR)

2. Tablo Yöntemi Kullan:

   - Her adımda tablo oluştur

   - Toplam ve madde miktarını güncelle

   - Ardışık işlemlerde zorunlu

3. Kontrol Mekanizması Uygula:

   - Oran %0-100 arasında mı?

   - Mantık kontrolü yap (ekleme → oran değişti mi?)

   - Denklem yerine koy ve kontrol et

4. Ters Problemlerde Denklem Kur:

   - Bilinmeyen tanımla (x = ?)

   - Oran eşitliğini kur

   - Cebirsel olarak çöz

5. KRITIĞI HATIRLA:

   - Buharlaşmada madde hiç değişmez!

   - Su eklenmişse oran azalır

   - Madde eklenmişse oran artar

   - Buharlaşmışsa oran ARTAR