KESİR KAVRAMI

 Temel Tanımlar

Kesir: Bir bütünün eşit parçalara bölünmüş kısımlarından bir veya birkaçını gösteren sayıya kesir denir.

Gösterim: $\frac{a}{b}$ (okunuşu: "b'de a")

- $a$: Pay - Bütünün kaç parça alındığını gösterir

- $b$: Payda - Bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir

- Şart: $b \neq 0$

Kesir Görselleştirmesi:

KESİR ÇEŞİTLERİ

 1. Basit Kesir

Tanım: Payı paydasından küçük olan kesire basit kesir denir.

$$\frac{a}{b} \text{ kesir basit ise } a < b$$

Özellikleri:

- Değeri $1$'den küçüktür: $0 < \frac{a}{b} < 1$

- En sade halidir ya da sadeleştirilebilir

Örnekler:

$\frac{3}{8}, \frac{5}{12}, \frac{7}{9}, \frac{1}{2}$

 2. Bileşik Kesir

Tanım: Payı paydasına eşit veya paydasından büyük olan kesire bileşik kesir denir.

$$\frac{a}{b} \text{ kesir bileşik ise } a \geq b$$

Özellikleri:

- Değeri $1$'e eşit veya büyüktür: $\frac{a}{b} \geq 1$

- Tam sayılı kesire dönüştürülebilir

Örnekler:

$\frac{8}{3}, \frac{12}{5}, \frac{9}{9}, \frac{15}{7}$

 3. Tam Sayılı Kesir

Tanım: Tam sayı kısmı ve kesir kısmından oluşan kesire tam sayılı kesir denir.

$$\text{Tam Sayılı Kesir} = \text{Tam Kısım} + \frac{\text{Pay}}{\text{Payda}}$$

Gösterim: $3\frac{2}{5}$ (okunuşu: "3 tam 5'te 2")

Özellikleri:

- Bileşik kesirlerin başka bir gösterimi

- Pratik uygulamalarda sık kullanılır

Örnekler:

$2\frac{3}{4}, 5\frac{1}{3}, 7\frac{2}{5}$

 Kesir Çeşitleri Karşılaştırması:

 KESİR DÖNÜŞÜMLERİ

 Bileşik Kesirden Tam Sayılı Kesire

Algoritma:

1. Payı paydaya böl

2. Bölüm = tam kısım

3. Kalan = yeni pay

4. Payda = eski payda

Formül: $\frac{a}{b} = c\frac{r}{b}$ (burada $a = b \cdot c + r$)

Örnek: $\frac{23}{5}$ kesirini tam sayılı kesire çevir.

$23 \div 5 = 4$ kalan $3$

$$\frac{23}{5} = 4\frac{3}{5}$$

Tam Sayılı Kesirden Bileşik Kesire

Algoritma:

1. Tam kısım × payda

2. Sonuca pay ekle

3. Payda = eski payda

Formül: $c\frac{a}{b} = \frac{c \times b + a}{b}$

Örnek: $3\frac{2}{5}$ kesirini bileşik kesire çevir.

$$3\frac{2}{5} = \frac{3 \times 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$$

 RASYONEL SAYILAR

 Rasyonel Sayı Tanımı

Tanım: $a$ ve $b$ tam sayılar ve $b \neq 0$ olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

Gösterim: $\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$

Özellikler:

- Her tam sayı rasyonel sayıdır: $n = \frac{n}{1}$

- Sonlu ondalık sayılar rasyoneldir: $0.5 = \frac{1}{2}$

- Periyodik ondalık sayılar rasyoneldir: $0.333... = \frac{1}{3}$

 Rasyonel Sayı Denkliği

Tanım: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ⟺ $a \times d = b \times c$

Özellik: Bir rasyonel sayının pay ve paydasını aynı sayı ile çarpıp bölebiliriz.

$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k}$$ ($k \neq 0$)

Örnekler:

- $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12}$

- $\frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

 Sadeleştirme

Tanım: Kesrin pay ve paydasını ortak bölenlerine bölmektir.

En Sade Hali: $\gcd(\text{pay}, \text{payda}) = 1$ olduğunda kesir en sade haldedir.

Örnek: $\frac{24}{36}$ kesirini sadeleştir.

$\gcd(24, 36) = 12$

$$\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$$

 Genişletme

Tanım: Kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile çarpmaktır.

Örnek: $\frac{3}{5}$ kesirini 4 ile genişlet.

$$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20}$$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Kesir Çeşitlerini Belirleme

Soru: Aşağıdaki kesirlerin çeşitlerini belirleyiniz.

$\frac{7}{9}, \frac{15}{8}, \frac{12}{12}, \frac{5}{11}, \frac{20}{15}$

Çözüm:

- $\frac{7}{9}$: Pay $< $ Payda → Basit kesir

- $\frac{15}{8}$: Pay $> $ Payda → Bileşik kesir

- $\frac{12}{12}$: Pay $= $ Payda → Bileşik kesir (değeri 1)

- $\frac{5}{11}$: Pay $< $ Payda → Basit kesir

- $\frac{20}{15}$: Pay $> $ Payda → Bileşik kesir

 Örnek 2: Dönüşüm İşlemleri

Soru: $\frac{47}{6}$ kesirini tam sayılı kesire çeviriniz.

Çözüm:

$47 \div 6 = 7$ kalan $5$

$$\frac{47}{6} = 7\frac{5}{6}$$

Kontrol: $7 \times 6 + 5 = 42 + 5 = 47$ ✓

 Örnek 3: Sadeleştirme

Soru: $\frac{72}{96}$ kesirini en sade hale getiriniz.

Çözüm:

$\gcd(72, 96) = 24$

$$\frac{72}{96} = \frac{72 \div 24}{96 \div 24} = \frac{3}{4}$$

 Örnek 4: Rasyonel Sayı Denkliği

Soru: $\frac{x}{12} = \frac{5}{8}$ ise $x$ kaçtır?

Çözüm:

Çapraz çarpım:

$$x \times 8 = 12 \times 5$$

$$8x = 60$$

$$x = \frac{60}{8} = 7.5$$

 Örnek 5: Tam Sayılı Kesir Dönüşümü

Soru: $5\frac{3}{7}$ kesirini bileşik kesire çeviriniz.

Çözüm:

$$5\frac{3}{7} = \frac{5 \times 7 + 3}{7} = \frac{35 + 3}{7} = \frac{38}{7}$$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Kesir Anlamı

Kesir, bir bütünün parçalarının oranını gösterir. Payda kaç eşit parçaya bölündüğünü, pay kaç parça alındığını gösterir.

 🎯 Püf Nokta 2: Kesir Çeşitleri Hızlı Belirleme

- Pay < Payda → Basit kesir

- Pay ≥ Payda → Bileşik kesir

- Tam kısım varsa → Tam sayılı kesir

 🎯 Püf Nokta 3: Dönüşüm İşlemleri

- Bileşik → Tam sayılı: Böl (bölüm tam kısım, kalan pay)

- Tam sayılı → Bileşik: (Tam kısım × Payda) + Pay

 🎯 Püf Nokta 4: Sadeleştirme

Kesri sadeleştirmek için pay ve paydasının EBOB'unu bul ve her ikisini bölün.

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Payda Sıfır

Yanlış: $\frac{5}{0}$ bir rasyonel sayıdır

Doğru: Payda sıfır olamaz, tanımsızdır

 ❌ Hata 2: Dönüşüm Hatası

Yanlış: $\frac{23}{5} = 23 \div 5 = 4.6$ olduğundan $4\frac{6}{5}$

Doğru: $23 \div 5 = 4$ kalan $3$ olduğundan $4\frac{3}{5}$

 ❌ Hata 3: Sadeleştirme Yanlışı

Yanlış: $\frac{24}{36} = \frac{20}{30}$ (ilk rakamları çıkarmak)

Doğru: EBOB'u bulup bölmek: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 6: Karşılaştırma

Soru: $\frac{7}{12}$ ve $\frac{5}{9}$ kesirleri arasında hangisi daha büyüktür?

Çözüm:

Ortak paydaya çevir: $\text{EKOK}(12, 9) = 36$

$\frac{7}{12} = \frac{7 \times 3}{12 \times 3} = \frac{21}{36}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \times 4}{9 \times 4} = \frac{20}{36}$

$\frac{21}{36} > \frac{20}{36}$ olduğundan $\frac{7}{12} > \frac{5}{9}$

 Örnek 7: Problem Uygulaması

Soru: Bir pasta 8 eşit parçaya bölündü. 3 parça yenildi. Kalan pastanın kesir olarak ifadesi ne olur?

Çözüm:

Yenen kısım: $\frac{3}{8}$

Kalan kısım: $1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Sonuç: Pastanın $\frac{5}{8}$'i kaldı.