4. ASAL SAYILAR VE ARALARINDA ASAL SAYILAR

 TEMEL KAVRAMLAR

Asal Sayı Tanımı

Tanım: $1$'den büyük doğal sayılardan, yalnızca $1$ ve kendisi ile tam bölünebilen sayılara asal sayı denir.

- $p$ asal sayı ise: $p > 1$ ve $p$'nin pozitif bölenleri sadece $1$ ve $p$'dir

- En küçük asal sayı: $2$

- Tek çift asal sayı: $2$

İlk Asal Sayılar:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...$

Asal Sayıların Görselleştirilmesi:

Bileşik Sayılar

Tanım: $1$'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı denir.

- En az üç pozitif böleni vardır

- En küçük bileşik sayı: $4$

- $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20...$

 Özel Durumlar:

- $\mathbf{1}$: Ne asal ne bileşik sayıdır

- $\mathbf{0}$: Asal sayı değildir (sonsuz bölen)

ASAL ÇARPANLARA AYIRMA

Temel Teoremi (Aritmetiğin Temel Teoremi)

Teorem: Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek türlü yazılabilir.

$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$

Bu gösterime kanonik çarpanlarına ayırma denir.

Faktörizasyon Ağacı:

EBOB VE EKOK (İleriki Bölümlerde Detaylı Olarak Anlatılacaktır)

 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB denir.

Hesaplama Yöntemi:

1. Sayıları asal çarpanlarına ayır

2. Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerini al

3. Bu çarpanları çarp

 En Küçük Ortak Kat (EKOK)

Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir.

Hesaplama Yöntemi:

1. Sayıları asal çarpanlarına ayır

2. Tüm asal çarpanların en büyük kuvvetlerini al

3. Bu çarpanları çarp

 EBOB-EKOK İlişkisi:

$$\text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) = a \times b$$

 ARALARINDA ASAL SAYILAR

 Tanım

Aralarında asal: EBOB'u $1$ olan sayılara aralarında asal sayılar denir.

$\text{EBOB}(a,b) = 1$ ise $a$ ve $b$ aralarında asaldır.

 Özellikler:

- Farklı asal sayılar aralarında asaldır

- Ardışık iki doğal sayı aralarında asaldır

- $\text{EBOB}(a,b) = 1$ ise $\text{EKOK}(a,b) = a \times b$

 Örnekler:

- $\text{EBOB}(15, 28) = 1$ → Aralarında asal

- $\text{EBOB}(12, 18) = 6 \neq 1$ → Aralarında asal değil

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Asal Çarpanlarına Ayırma

Soru: $540$ sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

 Örnek 2: EBOB-EKOK Hesabı

Soru: $72$ ve $108$ sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.

Çözüm:

$72 = 2^3 \times 3^2$

$108 = 2^2 \times 3^3$

EBOB: Ortak çarpanların en küçük kuvveti

$\text{EBOB}(72, 108) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

EKOK: Tüm çarpanların en büyük kuvveti

$\text{EKOK}(72, 108) = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$

Kontrol: $36 \times 216 = 7776 = 72 \times 108$ ✓

 Örnek 3: Aralarında Asal Kontrolü

Soru: $91$ ve $65$ sayılarının aralarında asal olup olmadığını bulunuz.

Çözüm:

$91 = 7 \times 13$

$65 = 5 \times 13$

$\text{EBOB}(91, 65) = 13 \neq 1$

Sonuç: $91$ ve $65$ aralarında asal değildir.

 Örnek 4: Üç Sayının EBOB'u

Soru: $48$, $72$ ve $96$ sayılarının EBOB'unu bulunuz.

Çözüm:

$48 = 2^4 \times 3^1$

$72 = 2^3 \times 3^2$ 

$96 = 2^5 \times 3^1$

$\text{EBOB}(48, 72, 96) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$

 Örnek 5: Pratik Problem

Soru: İki sayının toplamı $60$, EKOK'u $150$'dir. Bu sayıları bulunuz.

Çözüm:

$a + b = 60$ ve $\text{EKOK}(a,b) = 150$ olsun.

$\text{EBOB}(a,b) = d$ olsun. O halde $a = dx$, $b = dy$ ($x$ ve $y$ aralarında asal)

$dx + dy = 60$ → $d(x + y) = 60$

$\text{EKOK}(a,b) = dxy = 150$

Bu denklemlerden: $xy = \frac{150}{d}$ ve $x + y = \frac{60}{d}$

$d = 10$ deneyelim:

$x + y = 6$ ve $xy = 15$

$(x,y) = (3,5)$ → $a = 30$, $b = 50$

Kontrol: $30 + 50 = 80 \neq 60$ ❌

$d = 15$ deneyelim:

$x + y = 4$ ve $xy = 10$

Bu denklemin çözümü yoktur. ❌

$d = 30$ deneyelim:

$x + y = 2$ ve $xy = 5$

Bu da çözümü yoktur. ❌

Tekrar kontrol edelim: $a = 30$, $b = 30$ ise

$\text{EKOK}(30,30) = 30 \neq 150$ ❌

Doğru yaklaşım: $a = 25$, $b = 35$ deneyelim

$25 + 35 = 60$ ✓

$\text{EKOK}(25,35) = ?$

$25 = 5^2$, $35 = 5 \times 7$

$\text{EKOK}(25,35) = 5^2 \times 7 = 175 \neq 150$ ❌

 Örnek 6: Asal Sayı Testi

Soru: $97$ sayısının asal olup olmadığını bulunuz.

Çözüm:

$\sqrt{97} \approx 9.8$ olduğundan, $97$'yi $9$'a kadar olan asal sayılarla bölmeyi deneriz.

- $97 \div 2 = 48.5$ (tam bölünmez)

- $97 \div 3 = 32.33...$ (tam bölünmez)

- $97 \div 5 = 19.4$ (tam bölünmez)

- $97 \div 7 = 13.857...$ (tam bölünmez)

Sonuç: $97$ asal sayıdır.

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

🎯 Püf Nokta 1: Asal Sayı Testi

Bir sayının asal olup olmadığını test etmek için sadece $\sqrt{n}$'e kadar olan asal sayılarla bölmeyi dene.

 🎯 Püf Nokta 2: EBOB-EKOK Hızlı Hesap

- $\text{EBOB}(a,b) = 1$ ise $\text{EKOK}(a,b) = a \times b$

- Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır

 🎯 Püf Nokta 3: Bölen Sayısı

$n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$ ise

Bölen sayısı $= (a_1 + 1)(a_2 + 1)...(a_k + 1)$

 🎯 Püf Nokta 4: Özel Asal Sayılar

- $2$: Tek çift asal sayı

- $3$: En küçük tek asal sayı

- Fermat asalları: $F_n = 2^{2^n} + 1$

- Mersenne asalları: $M_p = 2^p - 1$ ($p$ asal)

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: 1'in Durumu

Yanlış: "1 asal sayıdır"

Doğru: 1 ne asal ne bileşik sayıdır

 ❌ Hata 2: EBOB-EKOK Karışıklığı

Yanlış: EBOB'da en büyük kuvvet

Doğru: EBOB'da en küçük kuvvet, EKOK'ta en büyük kuvvet

 ❌ Hata 3: Aralarında Asal Tanımı

Yanlış: "İkisi de asal olan sayılar"

Doğru: EBOB'u 1 olan sayılar (asal olması şart değil)

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 7: Bölen Sayısı Problemi

Soru: $360$ sayısının pozitif bölen sayısını bulunuz.

Çözüm:

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$

Bölen sayısı $= (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$

 Örnek 8: Üçlü EKOK

Soru: $\text{EKOK}(12, 18, 20)$ değerini bulunuz.

Çözüm:

$12 = 2^2 \times 3$

$18 = 2 \times 3^2$

$20 = 2^2 \times 5$

$\text{EKOK}(12, 18, 20) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$

SONUÇ

Asal sayılar matematik teorisinin temelini oluşturur. EBOB-EKOK hesaplamaları ve aralarında asallık kavramı, sayı teorisi problemlerinin çözümünde kritik öneme sahiptir.