6. DOĞAL SAYILARDA ÇÖZÜMLEME, BASAMAK ANALİZİ

 ONLUK SİSTEM (DEKAİMAL SİSTEM)

 Temel Kavramlar

Onluk Sistem: Günlük hayatta kullandığımız, $10$ tabanında sayı sistemidir.

Basamak Değerleri:

- Birler basamağı: $10^0 = 1$

- Onlar basamağı: $10^1 = 10$

- Yüzler basamağı: $10^2 = 100$

- Binler basamağı: $10^3 = 1000$

- On binler basamağı: $10^4 = 10000$

Basamak Gösterimi:

SAYI ÇÖZÜMLEMESİ

Genişletilmiş Form (Açılım)

Bir sayının basamak değerlerine göre yazılmasına açılım denir.

Genel Form: $n$ basamaklı bir sayı:

$$\overline{a_n a_{n-1} ... a_2 a_1 a_0} = a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + ... + a_2 \times 10^2 + a_1 \times 10^1 + a_0 \times 10^0$$

 Basamak ve Basamak Değeri

- Basamak: Sayının herhangi bir konumundaki rakam

- Basamak Değeri: Basamağın konumuna göre aldığı değer

Örnek: $3572$ sayısında

- $3$'ün basamak değeri: $3 \times 1000 = 3000$

- $5$'in basamak değeri: $5 \times 100 = 500$

- $7$'nin basamak değeri: $7 \times 10 = 70$

- $2$'nin basamak değeri: $2 \times 1 = 2$

 BASAMAK SAYI HESAPLAMALARI

 $n$ Basamaklı Sayıların Özellikleri

$n$ basamaklı sayıların aralığı:

- En küçük $n$ basamaklı sayı: $10^{n-1}$

- En büyük $n$ basamaklı sayı: $10^n - 1$

- Toplam $n$ basamaklı sayı adedi: $9 \times 10^{n-1}$

Örnekler:

- $3$ basamaklı sayılar: $100$ ile $999$ arası, toplam $900$ tane

- $4$ basamaklı sayılar: $1000$ ile $9999$ arası, toplam $9000$ tane

 Basamak Sayısı Bulma

Bir $N$ sayısının basamak sayısı: $\lfloor \log_{10}(N) \rfloor + 1$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 1: Basamak Değeri Problemi

Soru: $\overline{abc}$ üç basamaklı sayısında $a + b + c = 18$ ve sayının değeri basamaklarının toplamının $37$ katıdır. Bu sayıyı bulunuz.

Çözüm:

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

Verilen bilgiler:

- $a + b + c = 18$

- $100a + 10b + c = 37(a + b + c) = 37 \times 18 = 666$

$100a + 10b + c = 666$

Bu durumda $a = 6$, $b = 6$, $c = 6$

Kontrol: $6 + 6 + 6 = 18$ ✓

Sayı: $666$

 Örnek 2: Basamak Yerini Değiştirme

Soru: İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirdiğinde sayı $45$ azalıyor. Rakamların farkı $5$ ise orijinal sayıyı bulunuz.

Çözüm:

İki basamaklı sayı: $\overline{ab} = 10a + b$

Ters çevrilmiş sayı: $\overline{ba} = 10b + a$

$(10a + b) - (10b + a) = 45$

$9a - 9b = 45$

$a - b = 5$

Ayrıca verilmiş: $a - b = 5$ (büyük rakam - küçük rakam)

$a = b + 5$

$a$ ve $b$ birer rakam olduğundan:

- $b = 0$ ise $a = 5$ → Sayı: $50$

- $b = 1$ ise $a = 6$ → Sayı: $61$ 

- $b = 2$ ise $a = 7$ → Sayı: $72$

- $b = 3$ ise $a = 8$ → Sayı: $83$

- $b = 4$ ise $a = 9$ → Sayı: $94$

Kontrol: $50 - 05 = 45$, $61 - 16 = 45$, ... ✓

 Örnek 3: Basamakların Toplamı

Soru: $1$'den $999$'a kadar olan sayıların basamakları toplamını bulunuz.

Çözüm:

1 basamaklı sayılar (1-9):

$1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45$

2 basamaklı sayılar (10-99):

- Onlar basamağı: $1 \times 10 + 2 \times 10 + ... + 9 \times 10 = 450$

- Birler basamağı: $(0+1+2+...+9) \times 9 = 45 \times 9 = 405$

- Toplam: $450 + 405 = 855$

3 basamaklı sayılar (100-999):

- Yüzler basamağı: $(1+2+...+9) \times 100 = 45 \times 100 = 4500$

- Onlar basamağı: $45 \times 90 = 4050$

- Birler basamağı: $45 \times 90 = 4050$

- Toplam: $4500 + 4050 + 4050 = 12600$

Genel Toplam: $45 + 855 + 12600 = 13500$

 Örnek 4: Çok Basamaklı Sayı Problemi

Soru: $\overline{abcde}$ beş basamaklı sayısı $\overline{edcba}$ sayısının $4$ katından $1$ fazladır. Bu sayıları bulunuz.

Çözüm:

$\overline{abcde} = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e$

$\overline{edcba} = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a$

$(10000a + 1000b + 100c + 10d + e) = 4(10000e + 1000d + 100c + 10b + a) + 1$

$10000a + 1000b + 100c + 10d + e = 40000e + 4000d + 400c + 40b + 4a + 1$

$9996a + 960b - 300c - 3990d - 39999e = 1$

Bu denklemi çözmek için sistematik deneme yapalım.

$a = 2, e = 1$ deneyelim:

$9996 \times 2 - 39999 \times 1 = 19992 - 39999 = -20007$

Bu çok büyük, daha küçük değerler deneyelim.

Sistematik yaklaşım: $21978 = 4 \times 5469 + 2$ değil.

$21789 = 4 \times 5472 + 1$ kontrol edelim.

$21789 = 4 \times 5472 + 1 = 21888 + 1 = 21889$ ❌

Doğru yaklaşım: $21978 = 4 \times 5469 + 2$ değil.

Deneme: $a = 2, b = 1, c = 9, d = 7, e = 8$

$21978$ ve ters: $87912$

$87912 \times 4 + 1 = 351648 + 1 = 351649 \neq 21978$ ❌

 Örnek 5: Palindrom Sayılar

Soru: Beş basamaklı palindrom sayıların (ters çevrildiğinde kendine eşit) kaç tanesi $7$'ye bölünür?

Çözüm:

Beş basamaklı palindrom: $\overline{abcba} = 10000a + 1000b + 100c + 10b + a$

$= 10001a + 1010b + 100c$

$7$'ye bölünebilme koşulu:

$10001a + 1010b + 100c \equiv 0 \pmod{7}$

$10001 \equiv 3 \pmod{7}$ (çünkü $10001 = 1428 \times 7 + 5 \equiv 5 \pmod{7}$)

$1010 \equiv 6 \pmod{7}$ (çünkü $1010 = 144 \times 7 + 2 \equiv 2 \pmod{7}$)

$100 \equiv 2 \pmod{7}$ (çünkü $100 = 14 \times 7 + 2$)

Düzeltme:

$10001 = 1428 \times 7 + 5 \equiv 5 \pmod{7}$

$1010 = 144 \times 7 + 2 \equiv 2 \pmod{7}$

$100 = 14 \times 7 + 2 \equiv 2 \pmod{7}$

$5a + 2b + 2c \equiv 0 \pmod{7}$

$a \in \{1,2,...,9\}$, $b,c \in \{0,1,...,9\}$

Her $a$ ve $b$ için, $c$'nin bir değeri vardır.

Toplam: $9 \times 10 = 90$ palindrom sayı $7$'ye bölünür.

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

Püf Nokta 1: Basamak Sayısı Bulma

$N$ sayısının basamak sayısı = $\lfloor \log_{10}(N) \rfloor + 1$

Püf Nokta 2: Rakamların Toplamının Bölünebilirlik Kuralları

- Rakamlar toplamı $3$'ün katı ise sayı $3$'e bölünür

- Rakamlar toplamı $9$'un katı ise sayı $9$'a bölünür

Püf Nokta 3: Alternatif Toplam (11'e bölünebilirlik)

Sağdan başlayarak alternatif işaret ile toplam $11$'in katı ise sayı $11$'e bölünür.

Püf Nokta 4: Son Rakamlarla Bölünebilirlik

- Son rakam $2,4,6,8,0$ ise $2$'ye bölünür

- Son rakam $5,0$ ise $5$'e bölünür

- Son iki rakam $4$'ün katı ise sayı $4$'e bölünür

 YAYGIN HATALAR

Hata 1: Basamak Karışıklığı

Yanlış: En soldaki basamağı birler basamağı sanmak

Doğru: En sağdaki basamak birler basamağıdır

Hata 2: Basamak Değeri Hesabı

Yanlış: Basamağı konumu ile karıştırmak

Doğru: Basamak × ($10$^konum) formülünü kullanmak

Hata 3: Çözümleme Hatası

Yanlış: $\overline{abc} = a + b + c$

Doğru: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$

 SONUÇ

Basamak analizi, sayı sistemlerinin temelini oluşturur. Bu kavramlar, modüler aritmetik, bölünebilirlik kuralları ve sayı teorisi problemlerinde sıklıkla kullanılır.