ORAN KAVRAMI

Tanım

Oran: İki niceliğin bölümüyle veya karşılaştırılmasıyla elde edilen değerdir.

Gösterim: $a : b$ veya $\frac{a}{b}$ (okunuşu: "a'nın b'ye oranı")

- $a$: Birinci terim

- $b$: İkinci terim (sıfır olamaz)

Örnekler:

- Ali'nin yaşı 20, Zeynep'in yaşı 25 ise, Ali'nin yaşının Zeynep'in yaşına oranı: $\frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

- Bir sınıfta 15 kız, 20 erkek öğrenci varsa, kız sayısının erkek sayısına oranı: $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

 Oran Gösterimi:

 ORANTI KAVRAMI

 Tanım

Orantı: İki oranın eşitliğidir.

Gösterim: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ veya $a : b = c : d$

Okunuşu: "a, b'ye oranıyla c, d'ye oranı eşittir"

Terimleri:

- $a$ ve $d$: Dış terimler (uçlar)

- $b$ ve $c$: İç terimler (ortalar)

 Orantı Temel Özelliği

Özellik: Bir orantıda dış terimlerin çarpımı, iç terimlerin çarpımına eşittir.

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c$$

Örnek: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ orantısında:

- Dış terimler: $2, 6$ → $2 \times 6 = 12$

- İç terimler: $3, 4$ → $3 \times 4 = 12$

- $12 = 12$ ✓

 Orantı Gösterimi:

 ORANTI SABİTİ

 Tanım

Orantı Sabiti: Orantıdaki her oranın değeridir.

Gösterim: $k$

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$$

 Örnek 1: Orantı Sabiti Bulma

Soru: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ orantısında orantı sabitini bulunuz.

Çözüm:

$$k = \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = 0.666... = \frac{2}{3}$$

Orantı sabiti $k = \frac{2}{3}$ veya $0.\overline{6}$

 Örnek 2: Bilinmeyen Terimi Bulma

Soru: $\frac{3}{4} = \frac{x}{8}$ orantısında $x$'i bulunuz.

Çözüm:

Orantı temel özelliğini kullan:

$$3 \times 8 = 4 \times x$$

$$24 = 4x$$

$$x = 6$$

Kontrol: $\frac{3}{4} = 0.75$ ve $\frac{6}{8} = 0.75$ ✓

 ORANTILI ÇOKLUKAR

 Tanım

Orantılı Çokluklar: Aralarında sabit bir oran bulunan çokluklar.

Gösterim: İki çokluk $x$ ve $y$ orantılı ise $x : y = k$ (sabit) veya $\frac{x}{y} = k$

 Orantılı Çoklukların Özellikleri

 Özellik 1: Doğru Orantılı Çokluklar

$x$ ve $y$ doğru orantılı ise, $\frac{x}{y} = k$ (sabit)

 Özellik 2: Ters Orantılı Çokluklar

$x$ ve $y$ ters orantılı ise, $x \cdot y = k$ (sabit)

 Özellik 3: Zıt Orantılı Çokluklar

Daha karmaşık ilişkiler

 Örnek 3: Orantılı Çokluklar

Soru: Ali 5 saatte 300 km yolculuk yaptığına göre, 8 saatte kaç km yol yapacaktır? (Hız sabit)

Çözüm:

Zaman ve mesafe doğru orantılıdır.

$$\frac{\text{Mesafe}_1}{\text{Zaman}_1} = \frac{\text{Mesafe}_2}{\text{Zaman}_2}$$

$$\frac{300}{5} = \frac{x}{8}$$

$$60 = \frac{x}{8}$$

$$x = 480 \text{ km}$$

 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 4: Oran Sadeleştirmesi

Soru: $12 : 18$ oranını en sade biçimde yazınız.

Çözüm:

EBOB(12, 18) = 6

$$12 : 18 = \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} = 2 : 3$$

 Örnek 5: Orantı Denklemi Çözme

Soru: $\frac{x+1}{3} = \frac{5}{6}$ orantısında $x$'i bulunuz.

Çözüm:

Orantı temel özelliği:

$$(x + 1) \times 6 = 3 \times 5$$

$$6(x + 1) = 15$$

$$6x + 6 = 15$$

$$6x = 9$$

$$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$

Kontrol: $\frac{\frac{3}{2} + 1}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3} = \frac{5}{6}$ ✓

 Örnek 6: Orantı Sabiti ile Değer Bulma

Soru: $x$ ve $y$ doğru orantılı ve $x = 4$ iken $y = 12$ ise, $x = 7$ iken $y$ kaç olur?

Çözüm:

Orantı sabiti:

$$k = \frac{y}{x} = \frac{12}{4} = 3$$

$x = 7$ iken:

$$y = k \times x = 3 \times 7 = 21$$

 Örnek 7: Üçlü Orantı

Soru: $a : b : c = 2 : 3 : 5$ ve $a + b + c = 100$ ise, $a$, $b$, $c$'yi bulunuz.

Çözüm:

$a = 2k$, $b = 3k$, $c = 5k$ olsun.

$$2k + 3k + 5k = 100$$

$$10k = 100$$

$$k = 10$$

Dolayısıyla:

- $a = 2 \times 10 = 20$

- $b = 3 \times 10 = 30$

- $c = 5 \times 10 = 50$

Kontrol: $20 : 30 : 50 = 2 : 3 : 5$ ✓ ve $20 + 30 + 50 = 100$ ✓

 Örnek 8: Para Paylaştırma

Soru: 1200 TL'yi 2 : 3 : 5 oranında üç kişiye paylaştırınız.

Çözüm:

Paylaşım oranı: $2 : 3 : 5$

Toplam oran: $2 + 3 + 5 = 10$

Her bir birim: $\frac{1200}{10} = 120$ TL

Kişilerin payı:

- Birinci kişi: $2 \times 120 = 240$ TL

- İkinci kişi: $3 \times 120 = 360$ TL

- Üçüncü kişi: $5 \times 120 = 600$ TL

Kontrol: $240 + 360 + 600 = 1200$ ✓

 Örnek 9: Resim ve Gerçek

Soru: Haritada iki şehir arasındaki uzaklık 5 cm, ölçek 1 : 5000000 ise, gerçek uzaklık kaç km'dir?

Çözüm:

$$\frac{\text{Harita Uzaklığı}}{\text{Gerçek Uzaklık}} = \frac{1}{5000000}$$

$$\frac{5}{x} = \frac{1}{5000000}$$

$$x = 5 \times 5000000 = 25000000 \text{ cm}$$

$$x = 250 \text{ km}$$

 Örnek 10: Karışım Problemi

Soru: Bir karışımda A ve B maddeleri 3 : 5 oranındadır. Karışımda 24 kg A maddesi varsa, B maddesinin miktarı kaç kg'dır?

Çözüm:

$$\frac{A}{B} = \frac{3}{5}$$

$$\frac{24}{B} = \frac{3}{5}$$

$$24 \times 5 = 3 \times B$$

$$120 = 3B$$

$$B = 40 \text{ kg}$$

 ORANTININ ÖZELLİKLERİ

 Özellik 1: Orantıda Değişme

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}$$

 Özellik 2: Orantıda Toplama

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \frac{a+c}{b+d} = k$$

 Özellik 3: Orantıda Çarpma

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \text{ ise } \frac{a \times c}{b \times d} = k^2$$

Açıklama: İki orantılı ifadeyi çarparsak, sonuç orantı sabitinin karesidir.

Örnek:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{2 \times 4}{3 \times 6} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \checkmark$$

 Özellik 4: Orantı Zincirinde Çarpma

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \text{ ise } \frac{a \times c \times e}{b \times d \times f} = k^3$$

Örnek:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$$

$$\frac{2 \times 4 \times 6}{3 \times 6 \times 9} = \frac{48}{162} = \frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \checkmark$$

 PÜF NOKTALAR VE DİKKAT EDİLECEKLER

 🎯 Püf Nokta 1: Orantı Temel Özelliği

Bilinmeyen terimi bulmak için dış terimlerin çarpımını iç terimlerin çarpımına eşitle.

 🎯 Püf Nokta 2: Oran Sadeleştirmesi

Oranı her zaman en sade hale getir.

 🎯 Püf Nokta 3: Üçlü Orantılı Çokluklar

Orantılı çokluk sayısı 3 veya daha fazla ise, her birine sabit $k$ ile çarp.

 🎯 Püf Nokta 4: Ölçek Problemleri

Ölçek, uzunlukların oranıdır: $\frac{\text{Harita}}{\text{Gerçek}}$

 YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Orantı Temel Özelliğini Yanlış Uygulamak

Yanlış: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ise $a + d = b + c$

Doğru: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ise $a \times d = b \times c$

 ❌ Hata 2: Orantı Yönünü Tersine Yazmak

Yanlış: $\frac{x}{8} = \frac{3}{4}$ yerine $\frac{8}{x} = \frac{3}{4}$ yazmak

Doğru: Orantıyı doğru sırada yazmalı

 ❌ Hata 3: Birim Unutmak

Yanlış: Sonucu bulup birimini yazmamak

Doğru: Her zaman birim yazmalı (cm, kg, saat vb.)

 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek 11: Ters Orantılı Çokluklar

Soru: Bir işi 6 kişi 10 günde yapabiliyor. Aynı işi 15 kişi kaç günde yapabilir?

Çözüm:

Kişi sayısı ve gün sayısı ters orantılıdır.

$$\text{Kişi Sayısı} \times \text{Gün Sayısı} = \text{Sabit}$$

$$6 \times 10 = 15 \times x$$

$$60 = 15x$$

$$x = 4 \text{ gün}$$

 Örnek 12: Orantı Zinciri

Soru: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}$ ve $a + b + c = 50$ ise, $a$, $b$, $c$'yi bulunuz.

Çözüm:

$$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = k$$

Dolayısıyla:

- $a = 2k$

- $b = 3k$

- $c = 5k$

$$2k + 3k + 5k = 50$$

$$10k = 50$$

$$k = 5$$

Bulduğumuz değerler:

- $a = 10$

- $b = 15$

- $c = 25$

 SONUÇ

Oran ve orantı, matematiksel ilişkilerin temelini oluşturur. Orantı temel özelliğini ve orantılı çoklukların kavramını iyi anlamak, sonraki konularda ve pratik problemlerde başarıyı sağlar.