A. BİNOM AÇILIMI NEDİR?

 1. Tanım

Binom açılımı, iki terimli bir ifadenin $(a+b)^n$ şeklinde üslü ifadesinin açılmasıdır.

Genel Formül:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Açık Yazılış:

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}b^n$$

 2. Binom Katsayısı

Kombinasyon Sembolü:

$$\binom{n}{k} = C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Özellikler:

- $\binom{n}{0} = 1$

- $\binom{n}{n} = 1$

- $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (Simetri)

- $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ (Pascal özelliği)

 3. Temel Örnekler

 $(a+b)^2$

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Katsayılar: 1, 2, 1

 $(a+b)^3$

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Katsayılar: 1, 3, 3, 1

 $(a+b)^4$

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Katsayılar: 1, 4, 6, 4, 1

 B. GENEL TERİM FORMÜLÜ

 1. k. Terim (Sıfırdan Başlayarak)

Formül:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Açıklama:

- k: Terimin sırası (0'dan başlar)

- n: Binom üssü

- a, b: Binom içindeki terimler

- $T_{k+1}$: (k+1). terim

 2. Önemli Kurallar

Üs Toplamı:

$$n-k + k = n$$

(a ve b'nin üsleri toplamı her zaman n'dir)

Katsayı Hesabı:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Sabit Terim:

Değişkenin üssü 0 olan terim (örn: $x^0 = 1$)

 C. PASCAL ÜÇGENİ

 Pascal Üçgeninin Yapısı

Kurallar:

1. Kenarlarda 1'ler

2. İç değerler: Üstteki iki sayının toplamı

3. n. satır → $(a+b)^n$ katsayıları

Örnek:

$(a+b)^4$ katsayıları → 4. satır → 1, 4, 6, 4, 1

 Pascal Üçgeni Özellikleri

Simetri:

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

Örnek: $\binom{6}{2} = \binom{6}{4} = 15$

Satır Toplamı:

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

Örnek: $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$

 D. DETAYLI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

 Örnek D.1: Basit Binom Açılımı (⭐)

Soru: $(x+2)^3$ ifadesini açınız.

Çözüm:

Adım 1: Binom formülünü yaz

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Adım 2: Değerleri yerine koy

- $a = x$

- $b = 2$

- $n = 3$

Adım 3: Açılımı yap

$$(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + (2)^3$$

Adım 4: Sadeleştir

$$= x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

Cevap: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ ⭐

 Örnek D.2: Negatif Terimli Binom (⭐)

Soru: $(2x-3)^4$ açılımında kaç terim vardır?

Çözüm:

Adım 1: Terim sayısı kuralı

$$(a+b)^n \text{ açılımında } n+1 \text{ terim vardır}$$

Adım 2: Hesapla

$$n = 4 \Rightarrow \text{Terim sayısı} = 4+1 = 5$$

Kontrol: $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ → 5 terim ✓

Cevap: 5 terim ⭐

Örnek D.3: Katsayı Bulma (⭐)

Soru: $(x+y)^5$ açılımında $x^2y^3$ teriminin katsayısı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Genel terim formülü

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$

Adım 2: İstenen terimin üslerini belirle

- $x^{n-k} = x^2 \Rightarrow n-k = 2$

- $y^k = y^3 \Rightarrow k = 3$

- $n = 5$

Kontrol: $n-k = 5-3 = 2$ ✓

Adım 3: Katsayıyı hesapla

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$$

Cevap: Katsayı = 10 ⭐

Örnek D.4: Belirli Terimi Bulma (⭐⭐)

Soru: $(2x+3)^6$ açılımında $x^4$ terimini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Genel terim

$$T_{k+1} = \binom{6}{k} (2x)^{6-k} (3)^k$$

Adım 2: İstenen terim

$x^4$ için: $(2x)^{6-k} = x^4$

$6-k = 4 \Rightarrow k = 2$

Adım 3: Terimi hesapla

$$T_{2+1} = T_3 = \binom{6}{2} (2x)^4 (3)^2$$

$$= \frac{6!}{2!4!} \cdot 16x^4 \cdot 9$$

$$= 15 \cdot 16 \cdot 9 \cdot x^4$$

$$= 2160x^4$$

Cevap: $x^4$ terimi = $2160x^4$ ⭐⭐

 Örnek D.5: Sabit Terim Bulma (⭐⭐)

Soru: $(x^2 + \frac{1}{x})^9$ açılımında sabit terimi bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Genel terim

$$T_{k+1} = \binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k$$

$$= \binom{9}{k} x^{2(9-k)} \cdot x^{-k}$$

$$= \binom{9}{k} x^{18-2k-k}$$

$$= \binom{9}{k} x^{18-3k}$$

Adım 2: Sabit terim için

$x^{18-3k} = x^0$

$18-3k = 0$

$k = 6$

Adım 3: Sabit terimi hesapla

$$T_{6+1} = \binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$$

Cevap: Sabit terim = 84 ⭐⭐

 Örnek D.6: Sondan n. Terim (⭐⭐)

Soru: $(3x-2)^7$ açılımında sondan 3. terimi bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Toplam terim sayısı

$n+1 = 7+1 = 8$ terim

Adım 2: Sondan 3. terim = Baştan kaçıncı?

Sondan 3. = Baştan $(8-3+1) = 6.$ terim

Adım 3: Genel terim (k=0'dan başlar)

6. terim için $k = 5$

$$T_{5+1} = \binom{7}{5} (3x)^{7-5} (-2)^5$$

$$= \binom{7}{5} (3x)^2 (-32)$$

$$= 21 \cdot 9x^2 \cdot (-32)$$

$$= -6048x^2$$

Cevap: Sondan 3. terim = $-6048x^2$ ⭐⭐

Örnek D.7: Belirli İki Terimin Bulunması (⭐⭐)

Soru: $(x+2)^5$ açılımında:

a) $x^3$ terimini bulunuz.

b) $x^2$ terimini bulunuz.

c) Bu iki terimin toplamını bulunuz.

Çözüm:

a) $x^3$ terimi:

Genel terim:

$$T_{k+1} = \binom{5}{k} x^{5-k} (2)^k$$

$x^3$ için: $5-k = 3 \Rightarrow k = 2$

$$T_3 = \binom{5}{2} x^3 (2)^2 = 10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$$

b) $x^2$ terimi:

$x^2$ için: $5-k = 2 \Rightarrow k = 3$

$$T_4 = \binom{5}{3} x^2 (2)^3 = 10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2$$

c) Toplam:

$$40x^3 + 80x^2$$

Cevap:

a) $40x^3$

b) $80x^2$

c) $40x^3 + 80x^2$ ⭐⭐

 Örnek D.8: İki Terimin Oranı (⭐⭐⭐)

Soru: $(x+a)^{10}$ açılımında 3. terim ile 5. terimin oranı $\frac{1}{6}$ ise $a$ kaçtır? ($x \neq 0$)

Çözüm:

Adım 1: 3. terimi bul (k=2)

$$T_3 = \binom{10}{2} x^{10-2} a^2 = 45x^8a^2$$

Adım 2: 5. terimi bul (k=4)

$$T_5 = \binom{10}{4} x^{10-4} a^4 = 210x^6a^4$$

Adım 3: Oranı yaz

$$\frac{T_3}{T_5} = \frac{45x^8a^2}{210x^6a^4} = \frac{1}{6}$$

Adım 4: Sadeleştir

$$\frac{45x^2}{210a^2} = \frac{1}{6}$$

$$\frac{3x^2}{14a^2} = \frac{1}{6}$$

Adım 5: Çapraz çarp

$$18x^2 = 14a^2$$

$$a^2 = \frac{18x^2}{14} = \frac{9x^2}{7}$$

$$a = \pm \frac{3x}{\sqrt{7}}$$

Cevap: $a = \pm \frac{3x\sqrt{7}}{7}$ ⭐⭐⭐

 Örnek D.9: Gerçek Hayat - Olasılık Bağlantısı (⭐⭐)

Soru: Bir madeni para 5 kez atılıyor. Tam 3 kez yazı gelme ihtimalinin katsayısı nedir?

Çözüm:

Bağlantı:

$(Y+T)^5$ açılımı, burada:

- $Y =$ Yazı gelme

- $T =$ Tura gelme

Adım 1: Genel terim

$$T_{k+1} = \binom{5}{k} Y^{5-k} T^k$$

Adım 2: 3 yazı, 2 tura

$Y^3T^2$ terimi için $k=2$

$$\binom{5}{2} Y^3 T^2$$

Adım 3: Katsayı

$$\binom{5}{2} = 10$$

Yorum: Bu demek oluyor ki 5 atışta tam 3 yazı gelmenin 10 farklı yolu var.

Cevap: Katsayı = 10 (Olasılık: $\frac{10}{32}$) ⭐⭐

 E. ÖZEL DURUMLAR

 1. Katsayılar Toplamı

$(a+b)^n$ açılımında tüm katsayılar toplamı:

Yöntem: $a=1, b=1$ koy

$$(1+1)^n = 2^n$$

Örnek: $(x+2)^5$ katsayılar toplamı?

$(1+2)^5 = 3^5 = 243$

 2. Katsayılar Farkı (Alternatif Toplam)

$(a-b)^n$ açılımında alternatif toplam:

Yöntem: $a=1, b=1$ koy

$$(1-1)^n = 0$$

Örnek: $(x-1)^6$ katsayılar farkı?

$(1-1)^6 = 0$

 3. Sadece Tek Terimler / Çift Terimler

Sadece tek sıralı terimler:

$$\frac{(a+b)^n - (a-b)^n}{2}$$

Sadece çift sıralı terimler:

$$\frac{(a+b)^n + (a-b)^n}{2}$$

 F. SIKI KULLANILAN FORMÜLLER

 G. YAYGIN HATALAR

 ❌ Hata 1: Üs Toplamını Unutmak

Yanlış:

$(x+2)^3$ açılımında $x^4$ terimi var mı?

Doğru:

Hayır! Üsler toplamı $n=3$ olmalı. $x^4$ için $4+? = 3$ olamaz. ✓

 ❌ Hata 2: Negatif Terimi Yanlış Yerleştirmek

Yanlış:

$(x-2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3$

Doğru:

$(x-2)^3 = x^3 + 3x^2(-2) + 3x(-2)^2 + (-2)^3$

$= x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ ✓

İpucu: $b = -2$ olarak al, her yere eksi işaretiyle yaz!

 ❌ Hata 3: Kombinasyon Hesabında Hata

Yanlış:

$\binom{5}{3} = 5 \times 3 = 15$

Doğru:

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ ✓

 ❌ Hata 4: Sabit Terimde Sadece b'yi Almak

Yanlış:

$(x^2 + 3)^5$ sabit terimi $= 3^5 = 243$

Doğru:

Genel terim: $\binom{5}{k} (x^2)^{5-k} (3)^k$

Sabit için: $2(5-k) = 0 \Rightarrow k = 5$

Sabit terim: $\binom{5}{5} (3)^5 = 1 \times 243 = 243$ ✓

(Bu örnekte tesadüfen doğru, ama yöntem yanlış!)

 ❌ Hata 5: Sondan n. Terimi Yanlış Saymak

Yanlış:

$(a+b)^7$ sondan 2. terim = 2. terim

Doğru:

Toplam $7+1=8$ terim var.

Sondan 2. = Baştan $8-2+1 = 7.$ terim ✓

 ❌ Hata 6: k Değerini 1'den Başlatmak

Yanlış:

İlk terim için $k=1$

Doğru:

İlk terim için $k=0$ (Genel terim $T_{k+1}$ ile verilir) ✓

 ❌ Hata 7: Katsayılar Toplamında Hatalı Yerine Koyma

Yanlış:

$(2x+3)^4$ katsayılar toplamı $= (2+3)^4 = 625$

Doğru:

Yöntem 1: Açılımı yap, katsayıları topla.

Yöntem 2: $x=1$ koy: $(2 \cdot 1+3)^4 = 5^4 = 625$ ✓

(Bu örnekte doğru ama mantık farklı!)

Daha doğru yaklaşım: Tüm katsayıları toplamak için $x=1$ koy, ama bu $(2+3)^4$ değil, $(2(1)+3)^4$ dir.

 ❌ Hata 8: Pascal Üçgenini Yanlış Okumak

Yanlış:

$(a+b)^5$ katsayıları = 1, 5, 15, 20, 15, 5, 1

Doğru:

$(a+b)^5$ katsayıları = 1, 5, 10, 10, 5, 1 ✓

 H. PÜF NOKTALAR

💡 Sabit terim bulmak için: Değişkenin üssünü 0'a eşitle

💡 Belirli terim için: Genel terimi yaz, istenen üssü eşitle

💡 Katsayılar toplamı: $a=b=1$ koy

💡 Sondan n. terim: Baştan $(toplam - n + 1).$ terim

💡 Negatif terim: $b = -c$ olarak al, her yerde eksi ile yaz

💡 Pascal üçgeni: Hızlı katsayı bulmak için (n≤6)

💡 Kombinasyon simetrisi: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (Hesaplamayı kolaylaştırır)

💡 Üs kontrolü: Her terimde $a$ ve $b$'nin üsleri toplamı $n$ olmalı